Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm là \[f'\left( x \right) = \left( {{x^2} + 9x} \right)\left( {{x^2} - 9} \right),\]với mọi \[x \in \mathbb{R}\]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] để hàm số \[g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m - {m^2}} \right)\] có không quá \[6\] điểm cực trị?

Ta có: \[g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m - {m^2}} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = \frac{{3x\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left| {{x^3} + 3x} \right|}}.f'\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m - {m^2}} \right)\]

Dễ thấy \[g'\left( x \right)\] không xác định tại \[x = 0\] và khi qua \[x = 0\] thì \[g'\left( x \right)\] đổi dấu nên \[x = 0\] là một điểm cực trị của hàm số \[g\left( x \right)\].

Để \[g\left( x \right)\] có không quá \[6\] điểm cực trị thì phương trình \[f'\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m - {m^2}} \right) = 0\] có thể có tối đa \[5\] nghiệm bội lẻ khác \[x = 0\].

Có: \[f'\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m - {m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m - {m^2} = 0\\\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m - {m^2} =  - 9\\\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m - {m^2} =  - 3\\\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m - {m^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{x^3} + 3x} \right| = {m^2} - 2m\\\left| {{x^3} + 3x} \right| = {m^2} - 2m - 9\\\left| {{x^3} + 3x} \right| = {m^2} - 2m - 3\\\left| {{x^3} + 3x} \right| = {m^2} - 2m + 3\end{array} \right.\]

Dựa vào hình ảnh đồ thị hàm số \[\left| {{x^3} + 3x} \right|\]:

Để \[g\left( x \right)\] có không quá \[6\] điểm cực trị thì: \[{m^2} - 2m - 3 \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 3\]

Vậy có \[5\] giá trị nguyên \[m\] thỏa mãn.