Đề kiểm tra Tính đơn điệu và cực trị của hàm số (có lời giải) - Đề 1

Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên, ta có đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có điểm cực tiểu là \(\left( {3\,;\, - 4} \right)\).

Chọn D

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số \(y = f\left( x \right) + 2024\) đồng biến khoảng \(\left( {0\,;\,2} \right)\).

Chọn B

Đặt \(f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right){\left( {x - 1} \right)^2}\) có đồ thị .

Khi đó \(g\left( x \right) = \left| {x - 1} \right|\left( {{x^2} + x - 2} \right) = \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right),x > 1\\ - f\left( x \right),x \le 1\end{array} \right.\).

Do đó đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) gồm hai phần:

Phần 1: Lấy một phần đồ thị \[\left( C \right)\] ứng với \(x > 1.\)

Phần 2: Với phần đồ thị \[\left( C \right)\] ứng với \(x \le 1\) ta lấy đối xứng qua trục \(Ox\).

Chọn A

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Chọn B

Ta có \(f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1}\\{x = 4}\end{array}} \right.\)

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng biến thiên \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương khi qua \(x = 4\).

\( \Rightarrow x = 4\) là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.

Chọn D

Ta có:

\(y = {x^4} - 12{x^2} + \left( {m - 2} \right)x\)

\( \Rightarrow y' = 4{x^3} - 24x + m - 2\)

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 4{x^3} - 24x + m - 2 = 0\) có 3 nghiệm phân biệt

\( \Rightarrow m =  - 4{x^3} + 24x + 2\left( {\rm{*}} \right)\) có 3 nghiệm phân biệt.

Xét hàm số \(g\left( x \right) =  - 4{x^3} + 24x + 2\) ta có \(g'\left( x \right) =  - 12{x^2} + 24 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 \)

BBT:

Để phương trình \(\left( {\rm{*}} \right)\) có 3 nghiệm phân biệt thì \( - 16\sqrt 2  + 2 < m < 16\sqrt 2  + 2\).

Mà \(m\) là số nguyên \( \Rightarrow m \in \left\{ { - 20; - 19; \ldots ;23;24} \right\}\) nên có 45 giá trị \(m\) thoả mãn.

Chọn B

Đặt \(t =  - {x^3} - x + m + 3\). Ta có \(t' =  - 3{x^2} - 1 < 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)\)

Suy ra \(t\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).

Với \(x \in \left( {0;3} \right) \Rightarrow t \in \left( {m - 27;m + 3} \right)\).

Hàm số \(g\left( x \right)\) trở thành \(h\left( t \right) = 3f\left( t \right) - t{(3 - t)^2} \Leftrightarrow h\left( t \right) = 3f\left( t \right) - {t^3} + 6{t^2} - 9t\)

Ta có \(h'\left( t \right) = 3f'\left( t \right) - 3{t^2} + 12t - 9\)

Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;3} \right) \Leftrightarrow h\left( t \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {m - 27;m + 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow h'\left( t \right) \le 0,\forall t \in \left( {m - 27;m + 3} \right) \Leftrightarrow 3f'\left( t \right) - 3{t^2} + 12t - 9 \le 0,\forall t \in \left( {m - 27;m + 3} \right)\).

\( \Leftrightarrow f'\left( t \right) \le {t^2} - 4t + 3,\forall t \in \left( {m - 27;m + 3} \right)\)

Vẽ đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và đồ thị hàm số \(y = {t^2} - 4t + 3\) trên cùng hệ trục tọa độ ta được:

\(f'\left( t \right) \le {t^2} - 4t + 3,\forall t \in \left( {m - 27;m + 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t \le 0}\\{t \ge 3}\end{array},\forall t \in \left( {m - 27;m + 3} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 3 \le 0}\\{m - 27 \ge 3}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le  - 3}\\{m \ge 30}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Kết hợp điều kiện \(m \in \left( { - 100;100} \right] \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 100 < m \le  - 3}\\{30 \le m \le 100}\end{array}} \right.\)

Vậy có \(168\) giá trị nguyên của \(m \in \left( { - 100;100} \right]\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.