Câu hỏi:

29/09/2025 110

Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + 2{m^4} - m$, trong đó $m$là tham số. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Với mọi $m$dương hàm số luôn có 3 điểm cực trị.

b) Với $m < 0$hàm số đạt cực đại tại $x = 0$.

c) Hàm số luôn luôn có một điểm cực tiểu với mọi giá trị của tham số $m$.

d) Không tồn tại giá trị thực của tham số $m$ sao cho đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đều thuộc các trục toạ độ.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Tính đơn điệu và cực trị của hàm số (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) $y' = 4{x^3} - 4mx\,;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.$ do đó với mọi $m > 0$, $y'\, = 0$ có 3 nghiệm bội lẻ $ \Rightarrow $ Hàm số có $3$ điểm cực trị.

Suy ra mệnh đề đúng.

b) $y' = 4{x^3} - 4mx\,;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\,\,;y'' = 12{x^2} - 4m$

Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}y'\left( 0 \right) = 0\\y''\left( 0 \right) = - 4m > 0\,\,\forall m < 0\end{array} \right.$do đó với $m < 0$ hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$.

Vậy mệnh đề sai.

c) Ta có :

Với $m = 0\,,\,\,y' = {x^3}$ Hàm số có một điểm cực tiểu.

Với $m \ne 0$hàm số có $3$ điểm cực trị trong đó có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại.

Suy ra mệnh đề đúng.

d) Ta có: $y' = 4{x^3} - 4mx = 4x\left( {{x^2} - m} \right)$.

Xét $y' = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.$.

Đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi $m > 0$.

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là $A\left( {0;2{m^4} - m} \right),B\left( {\sqrt m ;2{m^4} - {m^2} - m} \right),C\left( { - \sqrt m ;2{m^4} - {m^2} - m} \right)$.

Ta có $A \in Oy$. Để $B,C \in Ox$ thì $2{m^4} - {m^2} - m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\2{m^3} - m - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.$.

Do $m > 0$ nên ta được $m = 1$.

Vậy mệnh đề sai.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

PHẦN 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \[y = 2{x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 6x + 4 + 2m\] . Khi đó:

a) Khi $m = - 1$ thì hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$

b) Hàm số \[y = 2{x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 6x + 4 + 2m\] không có cực trị khi $m = 1$

c) Có 3 giá trị nguyên dương của tham số \[m\] để hàm số \[y = 2{x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 6x + 4 + 2m\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\]

d) Hàm số \[y = 2{x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 6x + 4 + 2m\] đạt cực tiểu tại $x = 2$ khi đó $m \in \left( {2;5} \right)$

Xem đáp án

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\].

+Khi $m = - 1$ ta có \[y = 2{x^3} + 6x + 2 \Rightarrow \]\[y' = 6{x^2} + 6 > 0\] nên hàm số luôn đồng biến trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$

$ \Rightarrow $a đúng

+Khi $m = 1$ ta có \[y = 2{x^3} + 4{x^2} + 6x + 6 \Rightarrow \]\[y' = 6{x^2} + 8x + 6\]

Có $\Delta ' = 16 - 36 = - 20 < 0$\[ \Rightarrow y' = 6{x^2} + 8x + 6{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\] Hàm số không có cực trị khi $m = 1$$ \Rightarrow $b đúng

Ta có: \[y' = 6{x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x + 6\].

+ Hàm số \[y = 2{x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 6x + 4 + 2m\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\] khi và chỉ khi

\[y' = 6{x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x + 6 \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\]

\[ \Leftrightarrow \Delta ' = 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 36 \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 8 \le 0 \Leftrightarrow - 4 \le m \le 2.\]

Vậy $m \in \left[ { - 4;2} \right]$

Với $m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2} \right\} \Rightarrow c$ sai

+ có \[y'' = 12x + 4\left( {m + 1} \right)\]. Để hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ thì:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y'(2) = 0}\\{y''(2) > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{38 + 8m = 0}\\{28 + 4m > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - \frac{{38}}{8}}\\{m > - 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = - \frac{{38}}{8}$$ \Rightarrow $d sai

Câu 2

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

$Hàm số $y = f\left( x \right) + 2024$ đồng biến trên khoảng nào? (ảnh 1)$

Hàm số $y = f\left( x \right) + 2024$ đồng biến trên khoảng nào?

A. $\left( {2; + \infty } \right)$.

B. $\left( { - \infty ; - 1} \right)$.

C. $\left( { - 1;1} \right)$.

D. $\left( {0;1} \right)$.

Lời giải

Chọn D

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số $y = f\left( x \right) + 2024$ đồng biến khoảng $\left( {0\,;\,2} \right)$.

Câu 3