Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2{m^4} - m\), trong đó \(m\)là tham số. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Với mọi \(m\)dương hàm số luôn có 3 điểm cực trị.

b) Với \(m < 0\)hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\).

c) Hàm số luôn luôn có một điểm cực tiểu với mọi giá trị của tham số \(m\).

d) Không tồn tại giá trị thực của tham số \(m\) sao cho đồ thị hàm số  có ba điểm cực trị đều thuộc các trục toạ độ.

a) \(y' = 4{x^3} - 4mx\,;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\) do đó với mọi \(m > 0\), \(y'\, = 0\) có 3 nghiệm bội lẻ \( \Rightarrow \) Hàm số có \(3\) điểm cực trị.

Suy ra mệnh đề đúng.

b) \(y' = 4{x^3} - 4mx\,;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\,\,;y'' = 12{x^2} - 4m\)

Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( 0 \right) = 0\\y''\left( 0 \right) =  - 4m > 0\,\,\forall m < 0\end{array} \right.\)do đó với \(m < 0\) hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\).

Vậy mệnh đề sai.

c)  Ta có :

Với \(m = 0\,,\,\,y' = {x^3}\) Hàm số có một điểm cực tiểu.

Với \(m \ne 0\)hàm số có \(3\) điểm cực trị trong đó có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại.

Suy ra mệnh đề đúng.

d) Ta có:    \(y' = 4{x^3} - 4mx = 4x\left( {{x^2} - m} \right)\).

Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\).

Đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi \(m > 0\).

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là \(A\left( {0;2{m^4} - m} \right),B\left( {\sqrt m ;2{m^4} - {m^2} - m} \right),C\left( { - \sqrt m ;2{m^4} - {m^2} - m} \right)\).

Ta có \(A \in Oy\). Để \(B,C \in Ox\) thì \(2{m^4} - {m^2} - m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\2{m^3} - m - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\).

Do \(m > 0\) nên ta được \(m = 1\).

Vậy mệnh đề sai.