Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của \(m\) sao cho hàm số

\(y = \left| { - {x^4} + m{x^3} + 2{m^2}{x^2} + m - 1} \right|\) đồng biến trên \(\left( {1;\, + \infty } \right)\) Tổng tất cả các phần tử của \(S\) là

Gọi \(y = f\left( x \right) =  - {x^4} + m{x^3} + 2{m^2}{x^2} + m - 1\).

Nhận xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  - \infty \).

Do đó hàm số \(y = \left| { - {x^4} + m{x^3} + 2{m^2}{x^2} + m - 1} \right|\) đồng biến trên \(\left( {1;\, + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) \le 0{\rm{   }}\forall x \in \left( {1;\, + \infty } \right)\\f\left( 1 \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4{x^3} + 3m{x^2} + 4{m^2}x \le 0{\rm{   }}\forall x \in \left( {1;\, + \infty } \right)\\ - 1 + m + 2{m^2} + m - 1 \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4{x^3} + 3m{x^2} + 4{m^2}x \le 0{\rm{   }}\forall x \in \left( {1;\, + \infty } \right)\\\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} < m < \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4{x^2} + 3mx + 4{m^2} \le 0{\rm{   }}\forall x \in \left( {1;\, + \infty } \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 1 \right)\\\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} < m < \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ \(\left( 2 \right) \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0} \right\}\) thay vào \(\left( 1 \right)\)đều thỏa mãn vậy có 2 giá trị của \(m\)thỏa mãn.