Cho hàm số \(y = \frac{{(m + 1){x^2} - 2mx + 6m}}{{x - 1}}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Với \(m = - 1\) thì hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\)

b) Với \(m = 0\) thì hàm số nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

c) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định khi và chỉ khi \(m\) thuộc \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó \(a + 5b = 0\)

d) Điều kiện cần và đủ để hàm số đồng biến trên \(\left( {4; + \infty } \right)\) là \(m \in \left[ { - 1; + \infty } \right)\).

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

a.    Với \(m =  - 1:y = \frac{{2x - 6}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{4}{{{{(x - 1)}^2}}},\,\forall x \in D\)

\( \Rightarrow \)Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \)Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \)Mệnh đề a đúng

b.   Với \(m = 0:y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Từ BBT của hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} \Rightarrow \)Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\)

\( \Rightarrow \)Hàm số không nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \)Mệnh đề b sai

c.    + TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Xét hai trường hợp

TH1: Khi \(m =  - 1,\) ta có hàm số \(y = \frac{{2x - 6}}{{x - 1}}\) và \(y' = \frac{4}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0,\,\forall x \in D\)

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định

Vậy, \(m =  - 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH2: Khi \(m \ne  - 1,\) ta có \(y' = \frac{{(m + 1){x^2} - 2(m + 1)x - 4m}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Đặt \(g\left( x \right) = (m + 1){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 4m\) và ta có \(y'\) cùng dấu với \(g\left( x \right)\)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định\( \Leftrightarrow y' > 0,\,\forall x \in D \Leftrightarrow g\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in D\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {(m + 1)^2} + 4m(m + 1) \le 0\\m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(m + 1)(5m + 1) \le 0\\m >  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 < m \le  - \frac{1}{5}\)

Vậy tập hợp các giá trị của tham số \(m\)thỏa mãn yêu cầu của bài toán là \(\left[ { - 1; - \frac{1}{5}} \right]\)

d. Theo câu c \(m =  - 1\) thỏa mãn đề bài

Với \(m \ne  - 1\) Khi đó hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right) \Leftrightarrow g\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2x - {x^2}}}{{{x^2} - 2x - 4}} \le m,\,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)\) Với mọi \(m\)dương hàm số luôn có 3 điểm cực trị.