Cho hàm số\(y = 2{x^3} - 6{x^2} + 2\left( {2 - m} \right)x + m\). Khi đó:

a) Có 5 giá trị nguyên dương để  hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)

b) Có \(2025\)giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 2024;2024} \right]\) để  hàm số có hai điểm cực trị.

c) Biết tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)là \(\left( { - \infty ;a} \right]\) lúc đó: \(\left( { - \infty ;a} \right] \cap \left( {3;2025} \right) = \left( { - \infty ;2025} \right)\)

d) Biết tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)là \(\left( { - \infty ;a} \right]\)lúc đó, phương trình \({8^x} = a\) có nghiệm \(x > 2\)

Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\].

 ta có \(y = 2{x^3} - 6{x^2} + 2\left( {2 - m} \right)x + m \Rightarrow \)\[y' = 6{x^2} - 12x + 2(2 - m)\]

+ hàm số luôn đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)khi và chỉ khi \[y' = 6{x^2} - 12x + 2(2 - m) \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\]

\[ \Leftrightarrow \Delta ' = 36 - 12(2 - m) \le 0 \Leftrightarrow 12 + 12m \le 0 \Leftrightarrow m \le  - 1.\]

Với \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \left[ { - 2024;2024} \right]\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 2024; - 2023;...; - 1} \right\}\)\( \Rightarrow \)a sai

+ Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi \[y' = 6{x^2} - 12x + 2(2 - m) = 0{\rm{ }}\]có hai nghiệm phân biệt

\[ \Leftrightarrow \Delta ' = 36 - 12(2 - m) > 0 \Leftrightarrow 12 + 12m > 0 \Leftrightarrow m >  - 1.\]

Với\(\left\{ \begin{array}{l}m \in \left[ { - 2024;2024} \right]\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;...;2024} \right\}\)\( \Rightarrow \)b đúng

+Ta có \[y' = 6{x^2} - 12x + 2(2 - m)\].

Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \[y' = 6{x^2} - 12x + 2(2 - m) \ge 0{\rm{ }}\forall x \in (2; + \infty )\]

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 2 - m \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

\(m \le 3{x^2} - 6x + 2,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 2,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

\(f'\left( x \right) = 6x - 6\); \(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy  để \(m \le 3{x^2} - 6x + 2,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow \)\(m \le 2\). Vậy \(m \in \left( { - \infty ;2} \right]\).

 + Có \(\left( { - \infty ;a} \right] \cap \left( {3;2025} \right) = \left( { - \infty ;2} \right] \cap \left( {3;2025} \right) = \emptyset \)\( \Rightarrow \)c sai

+ phương trình \({8^x} = a \Leftrightarrow {8^x} = 2 \Leftrightarrow {2^{3x}} = 2 \Leftrightarrow 3x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\) \( \Rightarrow d\)sai