Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] để hàm số \[y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {2m + 3} \right)x + 1\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

a) Ta có \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\) suy ra \(y' = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

Do đó a) đúng.

b) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x =  - 1\end{array} \right.\)

\(y\left( { - 3} \right) =  - 3\); \(y\left( { - 1} \right) = 1\)

Suy ra \(A\left( { - 3\,;\, - 3} \right)\) và \(B\left( { - 1\,;\,1} \right)\)

Do \({x_A}.{x_B} = 3 > 0\) nên \(A\) và \(B\) nằm ở cùng một phía của trục tung.

Do đó b) sai.

c) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2\,;\,4} \right)\)

Suy ra đường thẳng \(AB\) có phương trình là \( - 2\left( {x + 1} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow y = 2x + 3\).

Do đó c) sai.

d) Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là \(x + 2y + 4 = 0\) nên \(\Delta \) có vtpt \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {1\,;\,2} \right)\).

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {2\,;\,4} \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow {{n_\Delta }} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với nhau. Do đó \(AB \bot \Delta \).

Ta có \(I\left( { - 2\,;\, - 1} \right)\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) và \(I \in \Delta \).

Vậy \(A\) và \(B\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(\Delta \).

Do đó d) đúng.

Đáp số: 1.

Hàm số xác định trên \(\left[ {0;\pi } \right]\).

Ta có \[y =  - \frac{x}{4} + {\cos ^2}\frac{x}{2} =  - \frac{x}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x\].

Suy ra \[y' =  - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin x\].

\[y' = 0 \Leftrightarrow  - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Vì \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) nên \(x \in \left\{ { - \frac{{5\pi }}{6}; - \frac{\pi }{6}} \right\}\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số có 1 điểm cực đại.