Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và \(A\), \(B\) là hai điểm cực trị của \(\left( C \right)\).

a) \(y' = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

b) \(A\) và \(B\) nằm ở hai phía của trục tung.

c) Đường thẳng \(AB\)có phương trình là \(y = 2x + 1\).

d) \(A\) và \(B\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là \(x + 2y + 4 = 0\).

Đáp số: 1.

Hàm số xác định trên \(\left[ {0;\pi } \right]\).

Ta có \[y =  - \frac{x}{4} + {\cos ^2}\frac{x}{2} =  - \frac{x}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x\].

Suy ra \[y' =  - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin x\].

\[y' = 0 \Leftrightarrow  - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Vì \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) nên \(x \in \left\{ { - \frac{{5\pi }}{6}; - \frac{\pi }{6}} \right\}\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số có 1 điểm cực đại.

Đáp án: a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Với \(m = 0\) hàm số trở thành \(y = {\log _2}x\) là hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).

b) Với \(m = 1\) hàm số trở thành \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + x + 1} \right)\) có \(D = \mathbb{R}\)

Khi đó : \(y' = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 2}} = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}\) .

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\, - \frac{1}{2}} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{2};\, + \infty } \right)\) .

c) \(y' = \frac{{2mx + 1}}{{\left( {m{x^2} + x + m} \right).\ln 2}}\)

d) Hàm số có \(D = \mathbb{R} \Leftrightarrow m{x^2} + x + m > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

+) \(m = 0\) không thoả mãn.

+) \(m \ne 0\) hàm số có \(D = \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta  = 1 - 4{m^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}\) .

Khi đó, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2;\, + \infty } \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {2; + \infty } \right) \subset \left( { - \frac{1}{{2m}};\, + \infty } \right) \Leftrightarrow  - \frac{1}{{2m}} \le 2 \Leftrightarrow m \ge  - \frac{1}{4}\)

Vậy với \(m > \frac{1}{2}\) thì hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {2;\, + \infty } \right)\).