Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và \(A\), \(B\) là hai điểm cực trị của \(\left( C \right)\).

a) \(y' = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

b) \(A\) và \(B\) nằm ở hai phía của trục tung.

c) Đường thẳng \(AB\)có phương trình là \(y = 2x + 1\).

d) \(A\) và \(B\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là \(x + 2y + 4 = 0\).

Đáp án: a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Với \(m = 0\) hàm số trở thành \(y = {\log _2}x\) là hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).

b) Với \(m = 1\) hàm số trở thành \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + x + 1} \right)\) có \(D = \mathbb{R}\)

Khi đó : \(y' = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 2}} = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}\) .

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\, - \frac{1}{2}} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{2};\, + \infty } \right)\) .

c) \(y' = \frac{{2mx + 1}}{{\left( {m{x^2} + x + m} \right).\ln 2}}\)

d) Hàm số có \(D = \mathbb{R} \Leftrightarrow m{x^2} + x + m > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

+) \(m = 0\) không thoả mãn.

+) \(m \ne 0\) hàm số có \(D = \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta  = 1 - 4{m^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}\) .

Khi đó, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2;\, + \infty } \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {2; + \infty } \right) \subset \left( { - \frac{1}{{2m}};\, + \infty } \right) \Leftrightarrow  - \frac{1}{{2m}} \le 2 \Leftrightarrow m \ge  - \frac{1}{4}\)

Vậy với \(m > \frac{1}{2}\) thì hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {2;\, + \infty } \right)\).

Đáp án: a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Với \(m = 0\) hàm số trở thành: \(y = \sqrt {{x^2} + 9} \) có \(y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 9} }} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Hàm số có cực trị tại \(x = 0\).

b) Với \(m = 1\) hàm số trở thành: \(y = \sqrt {{x^2} - 2x + 9} \) có \(y' = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 9} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

\(y'\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \(x = 1\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\).

c) \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2mx + 9} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} - 2mx + 9} }} = \frac{{2x - 2m}}{{2\sqrt {{x^2} - 2mx + 9} }} = \frac{{x - m}}{{\sqrt {{x^2} - 2mx + 9} }}\)

d)  Điều kiện: \[{x^2} - 2mx + 9 \ge 0\left( * \right)\]

\[y' = \frac{{x - m}}{{\sqrt {{x^2} - 2mx + 9} }}\],

\[y' = 0\]\[ \Leftrightarrow x - m = 0\]\[ \Leftrightarrow x = m\].

Đồ thị hàm số có cực trị \[ \Leftrightarrow x = m\] thỏa mãn \[ \Leftrightarrow {m^2} - 2{m^2} + 9 \ge 0\]\[ \Leftrightarrow  - 3 \le m \le 3\].

Vậy có 7 giá trị nguyên của \(m\) để hàm số đã cho có cực trị.