Cho hàm số \(y = {\log _2}\left( {m{x^2} + x + m} \right)\)

a) \(m = 0\) hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).

b) \(m = 1\) hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).

c) \(y' = \frac{{2mx + 1}}{{m{x^2} + x + m}}\).

d) \(m \in \left[ { - \frac{1}{4};\,\frac{1}{2}} \right)\) thì hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {2;\, + \infty } \right)\).

Đáp án: a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Với \(m = 0\) hàm số trở thành: \(y = \sqrt {{x^2} + 9} \) có \(y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 9} }} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Hàm số có cực trị tại \(x = 0\).

b) Với \(m = 1\) hàm số trở thành: \(y = \sqrt {{x^2} - 2x + 9} \) có \(y' = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 9} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

\(y'\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \(x = 1\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\).

c) \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2mx + 9} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} - 2mx + 9} }} = \frac{{2x - 2m}}{{2\sqrt {{x^2} - 2mx + 9} }} = \frac{{x - m}}{{\sqrt {{x^2} - 2mx + 9} }}\)

d)  Điều kiện: \[{x^2} - 2mx + 9 \ge 0\left( * \right)\]

\[y' = \frac{{x - m}}{{\sqrt {{x^2} - 2mx + 9} }}\],

\[y' = 0\]\[ \Leftrightarrow x - m = 0\]\[ \Leftrightarrow x = m\].

Đồ thị hàm số có cực trị \[ \Leftrightarrow x = m\] thỏa mãn \[ \Leftrightarrow {m^2} - 2{m^2} + 9 \ge 0\]\[ \Leftrightarrow  - 3 \le m \le 3\].

Vậy có 7 giá trị nguyên của \(m\) để hàm số đã cho có cực trị.

a) Ta có \(y = {x^3} + 3{x^2} - mx + 1\) nên \(y' = 3{x^2} + 6x - m\).

Do đó a) đúng.

b) Với \(m = 9\) ta có \(y' = 3{x^2} + 6x - 9\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 3\end{array} \right.\)

\(y' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - 3\\x > 1\end{array} \right.\)

\(y' < 0 \Leftrightarrow  - 3 < x < 1\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 3\,;\,1} \right)\).

Do đó b) sai.

c) Với \(m =  - 3\), ta có \(y' = 3{x^2} + 6x + 3 = 3\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 3{\left( {x + 1} \right)^2}\).

Suy ra \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\)

Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó c) sai.

d) Hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - mx + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty \,;\,0} \right)\)

\( \Leftrightarrow y' = 3{x^2} + 6x - m \ge 0,\,\,\forall x \in \left( { - \infty \,;\,0} \right)\).

\( \Leftrightarrow m \le 3{x^2} + 6x,\,\,\forall x \in \left( { - \infty \,;\,0} \right)\).

Xét \(g\left( x \right) = 3{x^2} + 6x,\,x \in \left( { - \infty \,;\,0} \right)\);

\(g'\left( x \right) = 6x + 6\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  - 1 \in \left( { - \infty \,;\,0} \right)\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(m \le g\left( x \right),\,\,\forall x \in \left( { - \infty \,;\,0} \right) \Leftrightarrow m \le  - 3\).

Do đó d) đúng.