Cho đồ thị hàm số có hình vẽ như dưới, đường thẳng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường có nét đứt. Hỏi đó là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau

Đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2}}\] có đúng hai đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \[f\left( x \right) = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2 = 0\] có đúng 2 nghiệm phân biệt khác 1\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 2} \right) > 0\\1 + 2\left( {m - 1} \right) + {m^2} - 2 \ne 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m + 3 > 0\\{m^2} + 2m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\m \ne 1\\m \ne  - 3\end{array} \right.\].

Do \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 2025;2025} \right]\end{array} \right.\) nên \(m \in \left\{ { - 2025, - 2024..., - 4, - 2, - 1,0} \right\}\)

Vậy có 2025 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án: 2025

Trả lời: 6.

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình \[3f(x) - 2 = 0\](hay \[f(x) = \frac{2}{3}\]) có 4 nghiệm \[{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\]thỏa \[{x_1} \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\], \[{x_2} \in \left( { - 1;0} \right)\], \[{x_3} \in \left( {0;1} \right)\], \[{x_4} \in \left( {1; + \infty } \right)\]. Suy ra đồ thị hàm số \[y = \frac{2}{{3f(x) - 2}}\]có 4 tiệm cận đứng là \[x = {x_1}\], \[x = {x_2}\], \[x = {x_3}\], \[x = {x_4}\].

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{2}{{3f(x) - 2}} = 0\]nên \[y = 0\]là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = \frac{2}{{3f(x) - 2}}\].

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{2}{{3f(x) - 2}} = 2\]nên \[y = 2\]là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = \frac{2}{{3f(x) - 2}}\].

Do đó đồ thị hàm số \[y = \frac{2}{{3f(x) - 2}}\]có 2 tiệm cận ngang là \[y = 0\], \[y = 2\].

Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = \frac{2}{{3f(x) - 2}}\]là 6.