Cho hàm số bậc ba \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\]. Đồ thị hàm \[y = f\left( x \right)\] có dạng như hình vẽ bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số \[g\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{{f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right)}}\] có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2}}\] có đúng hai đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \[f\left( x \right) = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2 = 0\] có đúng 2 nghiệm phân biệt khác 1\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 2} \right) > 0\\1 + 2\left( {m - 1} \right) + {m^2} - 2 \ne 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m + 3 > 0\\{m^2} + 2m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\m \ne 1\\m \ne  - 3\end{array} \right.\].

Do \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 2025;2025} \right]\end{array} \right.\) nên \(m \in \left\{ { - 2025, - 2024..., - 4, - 2, - 1,0} \right\}\)

Vậy có 2025 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án: 2025

Đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) được vẽ từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục \(Oy\), phần đồ thị phía bên trái trục \(Oy\) bỏ đi, rồi lấy đối xứng phần đồ thị phía bên phải sang qua \(Oy\). Ta được đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) như hình vẽ bên dưới.

Vậy đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có tổng số 3 đường tiệm cận

Đáp án: 3