Cho hàm số bậc ba \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\]. Đồ thị hàm \[y = f\left( x \right)\] có dạng như hình vẽ bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số \[g\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{{f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right)}}\] có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2}}\] có đúng hai đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \[f\left( x \right) = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2 = 0\] có đúng 2 nghiệm phân biệt khác 1\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 2} \right) > 0\\1 + 2\left( {m - 1} \right) + {m^2} - 2 \ne 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m + 3 > 0\\{m^2} + 2m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\m \ne 1\\m \ne  - 3\end{array} \right.\].

Do \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 2025;2025} \right]\end{array} \right.\) nên \(m \in \left\{ { - 2025, - 2024..., - 4, - 2, - 1,0} \right\}\)

Vậy có 2025 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án: 2025

Trả lời: 6.

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình \[3f(x) - 2 = 0\](hay \[f(x) = \frac{2}{3}\]) có 4 nghiệm \[{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\]thỏa \[{x_1} \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\], \[{x_2} \in \left( { - 1;0} \right)\], \[{x_3} \in \left( {0;1} \right)\], \[{x_4} \in \left( {1; + \infty } \right)\]. Suy ra đồ thị hàm số \[y = \frac{2}{{3f(x) - 2}}\]có 4 tiệm cận đứng là \[x = {x_1}\], \[x = {x_2}\], \[x = {x_3}\], \[x = {x_4}\].

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{2}{{3f(x) - 2}} = 0\]nên \[y = 0\]là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = \frac{2}{{3f(x) - 2}}\].

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{2}{{3f(x) - 2}} = 2\]nên \[y = 2\]là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = \frac{2}{{3f(x) - 2}}\].

Do đó đồ thị hàm số \[y = \frac{2}{{3f(x) - 2}}\]có 2 tiệm cận ngang là \[y = 0\], \[y = 2\].

Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = \frac{2}{{3f(x) - 2}}\]là 6.