Chị Hà dự định sử dụng hết \(4\,{{\rm{m}}^2}\) kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu mét khối (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Gọi \(F\left( n \right)\) là hàm cân nặng của \(n\) con cá sau vụ thu hoạch trên một đơn vị diện tích.

Ta có: \(F\left( n \right) = \left( {800 - 20n} \right).n = 800n - 20{n^2}\).

Để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất thì cân nặng của \(n\) con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ là lớn nhất.

Bài toán trở thành tìm \(n \in {\mathbb{N}^*}\) sao cho \(F\left( n \right)\) đạt GTLN.

\(\begin{array}{l}F'\left( n \right) = 800 - 40n\\F'\left( n \right) = 0 \Leftrightarrow 800 - 40n = 0 \Leftrightarrow n = 20\end{array}\)

Ta có bảng biến thiên:

Vậy phải thả \[20\] con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất.

Từ đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;\,3} \right]} f\left( x \right) = 4\) tại \(x = 2\).