Tìm \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x - m}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) bằng \(2\).

Đáp số: \( - 3\).

Ta có: \(y' = \frac{{1 + m}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

TH1: \(1 + m > 0 \Leftrightarrow m >  - 1\)

Khi đó: \(y' > 0\),\(\forall x \in \left[ {1;3} \right]\)\( \Rightarrow \) hàm số \(y = \frac{{x - m}}{{x + 1}}\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\).

Suy ra: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = \frac{{3 - m}}{4} = 2 \Leftrightarrow m =  - 5\) (loại).

TH2: \(1 + m < 0 \Leftrightarrow m <  - 1\)

Khi đó: \(y' < 0\),\(\forall x \in \left[ {1;3} \right]\)\( \Rightarrow \) hàm số \(y = \frac{{x - m}}{{x + 1}}\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\).

Suy ra: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = y\left( 1 \right) = \frac{{1 - m}}{2} = 2 \Leftrightarrow m =  - 3\) (thoả mãn).

Vậy \(m =  - 3\) là giá trị cần tìm.