Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm \[f'\left( x \right) = - {x^2} - 4\], \[\forall x \in \mathbb{R}\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

a) Đúng.

Dựa vào BBT suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \[\left( { - 2;\; + \infty } \right)\] bằng -3.

b) Sai.

Ta có \(y' = 3{x^2} - 4x - 7\), \(y' = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \in \left( { - 2;1} \right)\\x = \frac{7}{3} \notin \left( { - 2;1} \right)\end{array} \right.\)

\(y\left( { - 2} \right) =  - 1,\)\(y\left( 1 \right) =  - 7,\)\(y\left( { - 1} \right) = 5\). Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = 5\).

c) Sai.

Có \(y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \ge 0,\,\forall x \in \left[ {2;3} \right]\) nên hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\) đồng biến trên \[\left[ {2;3} \right]\].

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\) trên \[\left[ {2;3} \right]\]bằng \[y\left( 3 \right) = \frac{7}{2}\].

d) Đúng.

Ta có \(V = \pi {R^2}h = 16\pi  \Rightarrow h = \frac{{16}}{{{R^2}}}\).

Để ít tốn nguyên liệu nhất thì diện tích toàn phần của lọ phải nhỏ nhất.

Ta có \({S_{{\rm{tp}}}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi {R^2} + \frac{{32\pi }}{R} = 2\pi {R^2} + \frac{{16\pi }}{R} + \frac{{16\pi }}{R} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {R^2}.\frac{{16\pi }}{R}.\frac{{16\pi }}{R}}} = 24\pi \).

Dấu “\( = \)” xảy ra \[ \Leftrightarrow 2\pi {R^2} = \frac{{16\pi }}{R} \Leftrightarrow R = 2(cm)\].

Đáp số: \(3\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Ta có: \(g'\left( x \right) = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 2 = 0\\f'\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x + 2 = 0\\{x^2} - 2x + 2 = 1\\{x^2} - 2x + 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\) có \(3\) điểm cực trị.