Có bao nhiêu giá trị thực của tham số \[m\] để đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + \left( {2 - m} \right)x + 2m + 1}}\] có đúng hai đường tiệm cận?

Đáp số: 3.

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + \left( {2 - m} \right)x + 2m + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 + \left( {2 - m} \right)\frac{1}{x} + \left( {2m + 1} \right)\frac{1}{{{x^2}}}}} = 1\]

Suy ra đồ thị của hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang \[y = 1\], do vậy đồ thị đó có đúng 2 đường tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận đứng

\( \Leftrightarrow \) phương trình \[{x^2} + \left( {2 - m} \right)x + 2m + 1 = 0\left( * \right)\] có nghiệm kép hoặc có một nghiệm \[x =  - 1\] và một nghiệm khác \(1\) hoặc có một nghiệm \[x = 1\] và một nghiệm khác \( - 1\).

Trường hợp 1: Phương trình \[\left( * \right)\] có nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow \Delta  = 0 \Leftrightarrow {\left( {2 - m} \right)^2} - 4\left( {2m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 12m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 12\end{array} \right.\].

Trường hợp 2: Phương trình \[\left( * \right)\] một có nghiệm \[x = 1\] và một nghiệm khác \( - 1\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 4\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 4\).

Trường hợp 3: Phương trình \[\left( * \right)\] một có nghiệm \[x =  - 1\] và một nghiệm khác \(1\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\m \ne  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0\).

Vậy có 3 giá trị của \[m\] thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m =  - 4,\,m = 0,\,m = 12\).