Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\)trên \[\left( { - 2;\; + \infty } \right)\] bằng -3.

b) Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} - 7x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) bằng -1.

c) Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\) trên \[\left[ {2;3} \right]\] bằng 3.

d) Một hãng dược phẩm cần một số lọ đựng thuốc dạng hình trụ với dung tích \(16\pi c{m^3}\). Để ít tốn nguyên liệu sản xuất nhất thì bán kính đáy\(R\)của lọ bằng \(2cm\).

a) Đúng.

Dựa vào BBT suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \[\left( { - 2;\; + \infty } \right)\] bằng -3.

b) Sai.

Ta có \(y' = 3{x^2} - 4x - 7\), \(y' = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \in \left( { - 2;1} \right)\\x = \frac{7}{3} \notin \left( { - 2;1} \right)\end{array} \right.\)

\(y\left( { - 2} \right) =  - 1,\)\(y\left( 1 \right) =  - 7,\)\(y\left( { - 1} \right) = 5\). Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = 5\).

c) Sai.

Có \(y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \ge 0,\,\forall x \in \left[ {2;3} \right]\) nên hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\) đồng biến trên \[\left[ {2;3} \right]\].

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\) trên \[\left[ {2;3} \right]\]bằng \[y\left( 3 \right) = \frac{7}{2}\].

d) Đúng.

Ta có \(V = \pi {R^2}h = 16\pi  \Rightarrow h = \frac{{16}}{{{R^2}}}\).

Để ít tốn nguyên liệu nhất thì diện tích toàn phần của lọ phải nhỏ nhất.

Ta có \({S_{{\rm{tp}}}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi {R^2} + \frac{{32\pi }}{R} = 2\pi {R^2} + \frac{{16\pi }}{R} + \frac{{16\pi }}{R} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {R^2}.\frac{{16\pi }}{R}.\frac{{16\pi }}{R}}} = 24\pi \).

Dấu “\( = \)” xảy ra \[ \Leftrightarrow 2\pi {R^2} = \frac{{16\pi }}{R} \Leftrightarrow R = 2(cm)\].