Một hộp sữa dung tích \[1\] lít có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh bằng \[x\,\,\left( {cm} \right)\] và chiều cao \[h\,\,\left( {cm} \right)\]. Tìm giá trị của \[x\] để diện tích toàn phần của hình hộp là nhỏ nhất.

Đáp án: \(2\sqrt {17} \)

Xét hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}}\)

Điều kiện: \(x \ne  - 2\)

Ta có: \(y' = \frac{{2{x^2} + 8x + 6}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)     \(\left( {x \ne  - 2} \right)\)

Cho \(y' = 0\)\( \Rightarrow 2{x^2} + 8x + 6 = 0\)\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1 \Rightarrow y = 1}\\{\,\,\,x =  - 3 \Rightarrow y =  - 7}\end{array}} \right.\)

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(A\left( { - 1;1} \right)\) và \(B\left( { - 3; - 7} \right)\)\( \Rightarrow AB = 2\sqrt {17} \)

Đáp án: 5

Giả sử hàm số có đồ thị là \((C)\). Ta có :

+)    \[y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = x + \frac{1}{{x - 1}}\].

+)   \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{1}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{\frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 0 \Rightarrow \left( C \right)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x\).

Suy ra :  \(a = 1;\,\,\,b = 0\,\, \Rightarrow P = 5a + 2024b = 5.1 + 2024.0 = 5.\)