Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1\;;\; - 2\;;\;7} \right);\;B\left( {5\;;6\;;\;3} \right);\;C\left( { - 4\;;\;7\;;\;10} \right)\).
a) Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành?
b) Tìm tọa độ điểm \(M\) sao cho tứ giác \(ABMC\) là hình bình hành?

Chọn C

Ta có \(A'\left( {0;0; - 1} \right),\,C\left( {1;1;0} \right)\) nên \(\overrightarrow {CA'}  = \left( { - 1; - 1; - 1} \right)\).

a) Do điểm \(M\) đối xứng với điểm \(A\) qua \(B\) nên \(B\) là trung điểm của đoạn \(AM\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 2{x_B} - {x_A} = 9\\{y_M} = 2{y_B} - {y_A} = 14\\{z_M} = 2{z_B} - {z_A} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {9\;;\;14\;;\; - 1} \right)\).

b) Do điểm \(N\) đối xứng với điểm \(B\) qua \(C\) nên \(C\) là trung điểm của đoạn \(BN\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_C} - {x_B} =  - 13\\{y_N} = 2{y_C} - {y_B} = 8\\{z_N} = 2{z_C} - {z_B} = 17\end{array} \right. \Rightarrow N\left( { - 13\;;\;8\;;\;17} \right)\).

c) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(B\) trên trục \(Oy\). Ta được: \(H\left( {0\;;6\;;\;0} \right)\).

Do điểm \(B'\) đối xứng với điểm \(B\) qua trục \(Oy\) nên \(H\) là trung điểm của đoạn \(BB'\).

Vậy \(B'\left( { - 5\;;\;6\;;\; - 3} \right)\).

d) Gọi \(J\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(C\) trên mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxz} \right)\). Ta được: \(J\left( { - 4\;;0\;;\;10} \right)\).

Do điểm \(C'\) đối xứng với điểm \(C\) qua mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxz} \right)\) nên \(J\) là trung điểm của đoạn \(CC'\).

Vậy \(C'\left( { - 4\;;\; - 7\;;\;10} \right)\).

e) Do \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\), nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 3{x_G} - {x_B} - {x_C} = 5\\{y_D} = 3{y_G} - {y_B} - {y_C} = 2\\{z_D} = 3{z_G} - {z_B} - {z_C} = 5\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {5\;;\;2\;;\;5\;} \right)\)
f) Do \(A\) là trọng tâm của tam giác \(KBG\). Tương tự \(K\left( { - 4\;;\; - 17\;;\;12} \right)\)