Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho ba điểm \[A(1;2; - 1)\], \[B(2; - 1;3)\],\[C( - 2;3;3)\]. Điểm\[D\left( {a;\,b;\,c} \right)\] là đỉnh thứ tư của hình bình hành \[ABCD\], khi đó \(P = {a^2} + {b^2} - {c^2}\) có giá trị bằng

a) Đúng: Do \(M\) là trung điểm của đoạn \(AB\) nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).

b) Đúng: Do \(N\) là trung điểm của \(CD\) nên \(\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD}  = 2\overrightarrow {MN} \).

c) Sai: Do \(G\) là trung điểm của \(MN\) nên \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} = \overrightarrow 0 \).

Mà \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GM} \), \(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GN} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \)\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = - \left( {\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right)\].

d) Sai: Do $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}$

\( = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right) + 2\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {MN} \)

a) Đúng: Toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là 

\(G\left( {\frac{{1 + 4 + 3}}{3};\frac{{2 + \left( { - 2} \right) + 4}}{3};\frac{{4 + 1 + 7}}{3}} \right) = G\left( {\frac{8}{3};\frac{4}{3};4} \right)\).

b) Đúng:  Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\). Để \(ABCD\) là hình bình hành\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x = 3\\4 - y =  - 4\\7 - z =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 8\\z = 10\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {0;8;10} \right)\)

c) Đúng:  Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\), ta có \(M\) thuộc đoạn \(AB\) và \(MB = 2MA\)\[ \Rightarrow \overrightarrow {MB}  =  - 2\overrightarrow {MA} \]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - x =  - 2\left( {1 - x} \right)\\ - 2 - y =  - 2\left( {2 - y} \right)\\1 - z =  - 2\left( {4 - z} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \frac{2}{3}\\z = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;\frac{2}{3};3} \right)\).

d) Sai:  \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 4; - 3} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {2;2;3} \right)\), ta có \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{ - 11}}{{\sqrt {34} .\sqrt {17} }} = \frac{{ - 11\sqrt 2 }}{{34}}\).