Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A(1;2;4),B(4; - 2;1),C(3;4;7)\)    

a)  Toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là \(G\left( {\frac{8}{3};\frac{4}{3};4} \right)\).

b)  Toạ độ điểm \(D\) sao cho \(ABCD\) là hình bình hành là \(D\left( {0;8;10} \right)\).

c)  Toạ độ điểm \(M\) thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(MB = 2MA\) là \(M\left( {2;\frac{2}{3};3} \right)\).

d)  \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{11\sqrt 2 }}{{34}}\).

a) Đúng: Toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là 

\(G\left( {\frac{{1 + 4 + 3}}{3};\frac{{2 + \left( { - 2} \right) + 4}}{3};\frac{{4 + 1 + 7}}{3}} \right) = G\left( {\frac{8}{3};\frac{4}{3};4} \right)\).

b) Đúng:  Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\). Để \(ABCD\) là hình bình hành\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x = 3\\4 - y =  - 4\\7 - z =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 8\\z = 10\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {0;8;10} \right)\)

c) Đúng:  Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\), ta có \(M\) thuộc đoạn \(AB\) và \(MB = 2MA\)\[ \Rightarrow \overrightarrow {MB}  =  - 2\overrightarrow {MA} \]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - x =  - 2\left( {1 - x} \right)\\ - 2 - y =  - 2\left( {2 - y} \right)\\1 - z =  - 2\left( {4 - z} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \frac{2}{3}\\z = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;\frac{2}{3};3} \right)\).

d) Sai:  \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 4; - 3} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {2;2;3} \right)\), ta có \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{ - 11}}{{\sqrt {34} .\sqrt {17} }} = \frac{{ - 11\sqrt 2 }}{{34}}\).