Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;2; - 1} \right)\), \(B\left( {2; - 1;3} \right)\), \(C\left( { - 4;7;5} \right)\). Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\) là chân đường phân giác trong góc \(B\) của tam giác \(ABC\). Giá trị của \(a + b + 2c\) bằng bao nhiêu?

Trong không gian Oxyz cho các điểm \[A\left( {5;1;5} \right);{\rm{ }}B\left( {4;3;2} \right);{\rm{ }}C\left( { - 3; - 2;1} \right)\]. Trong các khẳng định sau, hãy chọn tính đúng sai.

              a) Tọa độ trọng tâm của tam giác \[ABC\]là \[G\left( {3;\,1;\,\frac{8}{3}} \right)\].

              b) \[AB = \sqrt {14} ;\,\,BC = 5\sqrt 3 \]

              c) Tam giác \[ABC\] là một ram giác vuông

              d) Gọi \[I\left( {a;b;c} \right)\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\]. Khi đó \[a + 2b + c = 3.\]

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\); \(D\left( {0;2;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;2} \right)\). Tính độ dài đoạn thẳng \(AC'\) ?

Một căn nhà được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác \(OAB.O'A'B'\). Với hệ trục tọa độ \(Oxyz\)thể hiện như hình bên (đơn vị cm ), hai điểm \(A'\)và \(B'\)có tọa độ lần lượt là \(A'(240;420;0)\) và \(B'(120;420;300)\). Hãy tính độ lớn của góc \(\alpha \)(làm tròn đến hàng phần chục)

Trong không gian \[Oxyz,\] cho \(\vec a = \left( {1; - 4;3} \right)\) và \(\vec b = \left( {m - n;4m - 6n;{n^2} - 3m + 2} \right)\), với \(m,n\)là tham số.

a) Với \(m = 1;n = 2\) thì \(\overrightarrow b = \left( { - 1; - 8; - 3} \right)\)

b) Với \(m = 1;n = 0\) thì \(2\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {1; - 12;7} \right)\).

c) Tồn tại giá trị của \(m\) và \(n\) để \(\vec b = \vec 0\).

d) Nếu \(\vec a = \vec b\) thì \(m + n = 9\).