Cho hình lập phương ABCD . A ′B ′C ′D ′ có cạnh là \[a\]. Véc tơ nào bằng véc tơ $\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$

Cho tứ diện OABC có các cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Cô sin góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng \( - \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(Q = a.b\)?

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm\(A\left( {2;3;1} \right)\), \(B\left( { - 1;2;0} \right)\),\(C\left( {1;1; - 2} \right)\) . Phát biêủ dưới đây đúng hay sai

a) \(\overrightarrow {OA}  = 2\overrightarrow i  + 3\overrightarrow j  + \overrightarrow k \)

b) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;\,\, - 1;\,\, - 1} \right)\)

c) Gọi \(D\)là điểm sao cho \(ABCD\)là hình bình hành. Khi đó \(D\left( {4;\,\,2;\,\, - 1} \right)\)\(\)

d) \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\), khi đó, độ dài đoạn \(OH\) bằng \[\frac{{\sqrt {870} }}{{15}}.\]

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Một chất điểm ở vị trí đỉnh \(A\) của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chất điểm chịu tác động bởi ba lực \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) lần lượt cùng hướng với \(\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC'} \) như hình vẽ. Độ lớn của các lực \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \)và \(\overrightarrow c \) tương ứng là \(10{\rm N},\,\,10{\rm N}\) và \(10\sqrt 3 {\rm N}.\)

Xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau đây:

A. \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow c \).                                                            

B. \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = 20\left( {\rm N} \right)\).

C. \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow c } \right| = \left| {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right|\).                                                      

D. \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right| = 30\left( {\rm N} \right)\)

(làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Phần III. Câu hỏi trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 vectơ \(\vec u = m\vec i + 2\vec j - 3\vec k,\,\,\,\vec v = m\vec j + 2\vec i + 4\vec k\). Biết rằng \(\vec u.\vec v = 8\), khi đó giá trị của \(m\) bằng 5.

b) Trong không gian \(Oxyz\), cho hai véctơ \[\overrightarrow u  = \left( {1;\, - 2;\,1} \right)\] và \(\overrightarrow v  = \left( { - 2;\,1;\,1} \right)\), góc giữa hai vectơ đã cho bằng \(60^\circ \).

c) Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {2;0;0} \right)\), \(C\left( {0;2;0} \right)\) và \(A'\left( {0;0;2} \right)\). Góc giữa \(BC'\) và \(A'C\) là \(90^\circ \).

d) Trong không gian \(Oxyz\), gọi \(\varphi \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \), với \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \), khi đó \(\cos \varphi \) bằng\(\frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}\).