Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng  \({45^0}\). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết trọng lượng chiếc xe ô tô là \[4000\,N\] và trọng lượng khung sắt là \[2000N\]; cường độ các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} ,\,\overrightarrow {{F_4}} \) là bằng nhau. Tính cường độ lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} \)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác \[{\rm{ABC}}\] có các đỉnh \(A\left( {1; - 2;0} \right)\), \(B\left( {2;1; - 2} \right)\), \(C\left( {0;3;4} \right)\).

a) [Mức độ 1] Tọa độ của véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) là \(\left( {1;3; - 2} \right)\).

b) [Mức độ 2] Tọa độ trọng tâm của tam giác \(ABC\) là \(G\left( {1;\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\).

c) [Mức độ 1] Tọa độ hình chiếu của điểm \(B\) trên mặt phẳng \(Oxy\) là \(H\left( {0;0; - 2} \right)\) .

d) [Mức độ 2] \(\overrightarrow x  = 2\overrightarrow {AB}  - 3\overrightarrow {BC} \). Tọa độ của véc tơ \(\overrightarrow x  = \left( { - 4;12;14} \right)\)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {0\,;\, - 1;\,1} \right)\), \(B\left( { - 2\,;\,1;\, - 1} \right)\), \(C\left( { - 1;\,3;\,2} \right)\),\(D\left( { - 1;\,0;\,0} \right)\).

a) Ba điểm \(A,\,B,\,C\)  không thẳng hàng.

b) Ba điểm \(A,\,B,\,D\)  thẳng hàng.

c) Cosin của góc giữa \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CB} \) bằng \( - \frac{{\sqrt {42} }}{{21}}\).

d) Bốn điểm \(A;\,B;\,C;\,D\) không đồng phẳng.

Cho  3 điểm \(A\left( { - 1\,;\,2;\,1} \right);B\left( {2; - 2;4} \right);C\left( {0; - 4;1} \right)\).

a) Ba điểm \(A,\,B,C\) không thẳng hàng.

b) Điểm \(D\left( {5; - 6;7} \right)\). Khi đó 3 điểm \(A,B,D\) thẳng hàng .

c) \[cos\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{37}}{{\sqrt {1258} }}\].

d) Cho \(\overrightarrow u \left( {x - 1;2y + 1;3z - 5} \right)\) thoả mãn \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow u  \bot \overrightarrow {AC} \). Khi đó \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2024\)

PHẦN 3. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN (6 CÂU)

(1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là \(a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(B'C'D'\), \(I\) là trung điểm của \(AB'\) . Hãy xác định \[cos\left( {\overrightarrow {A'D} \,,\,\overrightarrow {IG} } \right)\]?

Hình bên dưới mô tả một hồ bơi theo tiêu chuẩn với kích thước như hình vẽ và biết chiều sâu của hồ bơi là 2 m. Biết hồ bơi này có 10 làn bơi với độ rộng như nhau và mỗi làn bơi được ngăn cách bằng phao ngăn phân làn nổi trên mặt nước. Chọn hệ trục \(Oxyz\) như hình bên dưới sao cho gốc tọa độ \(O\) nằm ở dưới đáy của hồ và chiều của vectơ \[\overrightarrow k \] hướng dọc thẳng đứng lên từ đáy bể lên miệng bể. Gọi \(AB\) là là phao ngăn phân làn như hình vẽ và có độ dài là 40 m. Biết hai điểm \(A\) và \(B\) cách đều hai bên thành hồ ứng với chiều rộng của hồ. Hãy xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \).