Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng  \({45^0}\). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết trọng lượng chiếc xe ô tô là \[4000\,N\] và trọng lượng khung sắt là \[2000N\]; cường độ các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} ,\,\overrightarrow {{F_4}} \) là bằng nhau. Tính cường độ lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} \)

a) Đúng.

b) Đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {A'B'}  - \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {A'B}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {A'M} \)

c) Sai.

Ta có: \(\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {AC}  = \left( {\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {AM} } \right).\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A'A} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a.\cos 30^\circ  = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

d) Đúng.

Ta có \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CC'} } \right)\)\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)

\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)\( =  - \frac{{{a^2}}}{2} + 0 + 0 + 2{a^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\)

Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}}\)\( = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3 .a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = 60^\circ \)

      Cạnh hình lập phương là \(a \Rightarrow A'D\, = \,a\sqrt 2 .\)

      \[\begin{array}{l}\overrightarrow {IG}  = \overrightarrow {IB'}  + \overrightarrow {B'G} \, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {B'D'}  + \overrightarrow {B'C'} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \\{\overrightarrow {IG} ^2} = {\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{{18}} \Rightarrow IG = \frac{{a\sqrt {26} }}{6}.\end{array}\]

      Ta có: \(\overrightarrow {A'D}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} \) và \(A'D = a\sqrt 2 \) .

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG}  = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} } \right) = \frac{{{a^2}}}{6}.\\cos\left( {\overrightarrow {A'D} \,,\,\overrightarrow {IG} } \right) = \frac{{\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG} }}{{A'D.IG}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{6}}}{{\frac{{a\sqrt {26} }}{6}.a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {13} }}{{26}}.\end{array}\]