Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở hình vẽ dưới đây:

a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên.

b) Tính quãng đường và vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên.

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ (1 đơn vị trên trục bằng \(10\,{\rm{cm}} = 1\,{\rm{dm}}\)), các cánh hoa tạo bởi các đường parabol có phương trình \(y = \frac{{{x^2}}}{3}\), \(y =  - \frac{{{x^2}}}{3}\),\(x =  - \frac{{{y^2}}}{3}\),\(x = \frac{{{y^2}}}{3}\).

Diện tích một cánh hoa (nằm trong góc phần tư thứ nhất) bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số\(y = \frac{{{x^2}}}{3}\),\(y = \sqrt {3x} \) và hai đường thẳng \(x = 0;x = 3\).

Do đó diện tích một cánh hoa bằng: \(\int\limits_0^3 {\left( {\sqrt {3x}  - \frac{{{x^2}}}{3}} \right){\rm{d}}x} \) \[ = 3\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right) = 300\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].

Đáp án: 300.

Phương trình đường thẳng \(OB:\,v = \frac{1}{2}t\).

Phương trình đường thẳng \(BC:\,v = t - 1\).

Phương trình đường thẳng \(CD:\,v = 3\).

Phương trình đường thẳng \(DE:\,v =  - \frac{2}{3}t + \frac{{23}}{3}\).

Suy ra: \[v\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}t,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \le t \le 2\\t - 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2 < t \le 4\\3,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4 < t \le 7\\ - \frac{2}{3}t + \frac{{23}}{3},\,\,\,7 < t \le 10\end{array} \right.\].

Quãng đường chuyển động của vật trong 10 giây là:

\(S = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int\limits_0^2 {v\left( t \right){\rm{d}}t}  + \int\limits_2^4 {v\left( t \right){\rm{d}}t}  + \int\limits_4^7 {v\left( t \right){\rm{d}}t}  + \int\limits_7^{10} {v\left( t \right){\rm{d}}t} \) \(S = \int\limits_0^2 {\frac{1}{2}t{\rm{d}}t}  + \int\limits_2^4 {\left( {t - 1} \right){\rm{d}}t}  + \int\limits_4^7 {3{\rm{d}}t}  + \int\limits_7^{10} {\left( { - \frac{2}{3}t + \frac{{23}}{3}} \right){\rm{d}}t}  = 20\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Vận tốc trung bình của chuyển động là: \({v_{tb}} = \frac{S}{{10}} = \,2\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).