Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1\,;2\,;3} \right),\,\,B\left( { - 2\,; - 4\,;9} \right)$. Điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $MA = 2MB$. Độ dài đoạn thẳng $OM$ là

A. $5$.

B. $3$.

C. $\sqrt {54} $.

D. $\sqrt {17} $.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 2 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C

Đặt $M\left( {x\,;y\,;z} \right)$, khi đó: $\overrightarrow {MA} = \left( {1 - x\,;2 - y\,;3 - z} \right)$ và $\overrightarrow {MB} = \left( { - 2 - x\,; - 4 - y\,;9 - z} \right)$.

Ta có: $MA = 2MB \Rightarrow \overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = - 2\left( { - 2 - x} \right)\\2 - y = - 2\left( { - 4 - y} \right)\\3 - z = - 2\left( {9 - z} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2\\z = 7\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1\,; - 2\,;7} \right)$.

Khi đó: $\overrightarrow {OM} = \left( { - 1\,; - 2\,;7} \right)$. Vậy \[OM = \sqrt {54} \].

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân. Trọng lực tác dụng lên chiếc máy có độ lớn là $30{\rm{N}}$ và được phân bố thành ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} $ lên ba chân của giá đỡ. Ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} $ có độ lớn bằng nhau và góc tạo bởi mỗi chân của giá đỡ và mặt đất là $60^\circ .$ Hỏi độ lớn của lực $\overrightarrow {{F_1}} $ là bao nhiêu Newton (làm tròn đến hàng phần chục)?
$Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân. Trọng lực tác dụng lên chiếc máy có độ lớn là $30{\rm{N}}$ và được phân bố thành ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2} (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

$Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân. Trọng lực tác dụng lên chiếc máy có độ lớn là $30{\rm{N}}$ và được phân bố thành ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2} (ảnh 2)$

Gán các lực \[\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {SB} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {SC} .\]

Vì $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|$ và góc tạo bởi mỗi chân của giá đỡ với mặt đất bằng $60^\circ $ nên $S.ABC$ là hình chóp đều.

Gọi $M$ là trung điểm $BC,\,\,G$ là trọng tâm $\Delta ABC \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right).$

Ta có $\widehat {SBG} = 60^\circ \Rightarrow SG = SA.\sin 60^\circ = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SA = \frac{{2SG}}{{\sqrt 3 }}.$

Đặt $\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = 30\left( {\rm{N}} \right).$

Vì $\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SG} \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = 3\left| {\overrightarrow {SG} } \right| \Rightarrow SG = \frac{{\left| {\overrightarrow F } \right|}}{3} = 10.$

Vậy $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| = 2\frac{{SG}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \approx 11,5\left( {\rm{N}} \right).$

Đáp án: 11,5.

Câu 2

Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp $AB$ trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ Oxyz như hình vẽ dưới với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng $1\;m$. Tìm được tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {a;b;c} \right)$. Khi đó tính $a + c$.
$Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp $AB$ trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ $Oxyz$ như hình vẽ dưới với độ dài đơn vị trên các (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow {OA} = 10\vec k \Rightarrow A\left( {0;0;10} \right)$ và $OH = OB.\cos 30^\circ = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}$; $OK = OB.\cos \left( {90^\circ - 30^\circ } \right) = \frac{{15}}{2}$

\[ \Rightarrow {\rm{ }}B\left( {\frac{{15}}{2};\frac{{15\sqrt 3 }}{2};0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{15}}{2};\frac{{15\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)\]. Vậy $a + c = 2,5$.

Đáp án: 2,5.

Câu 3