Xét Trái Đất trong không gian Oxyz, với \(O\) là tâm Trái Đất, tia \(Ox\) chứa giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo, tia \(Oz\) chứa điểm cực bắc \(N\), tia \(Oy\) giao xích đạo tại điểm thuộc bán cầu Đông, một đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trong thực tế. Biết rằng nếu điểm \(M\) có vĩ độ, kinh độ tương ứng là \(\alpha ^\circ \,N;{\rm{ }}\,\beta ^\circ \,E{\rm{ }}\,\left( {0 < \alpha  < 90,\,0 < \beta  < 180} \right)\) thì điểm \(M\)có tọa độ là \(M\left( {\cos \alpha ^\circ \cos \beta ^\circ ;\,\cos \alpha ^\circ \sin \beta ^\circ ;\,\sin \alpha ^\circ } \right)\).

Tính khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt Trái Đất là Cầu Hiền Lương (cũ) (Quảng Trị) có vĩ độ, kinh độ tương ứng là \(17,0045^\circ \,N;{\rm{ }}\,107,0517^\circ \,E\) và Dinh Độc Lập (TP Hồ Chí Minh) có vĩ độ, kinh độ tương ứng là \(10,777^\circ \,N;{\rm{ }}106,695^\circ \,E\) (đơn vị: km, làm tròn kết quả đến hàng chục).

a) Sai. Kẻ \(TM \bot Oy\), \(CN \bot Oy\).

Vì \(T\) là hình chiếu của \(Q\) lên \(\left( {Oxy} \right)\) nên

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_Q} = {x_T} =  - OD =  - \left( {AD - OA} \right) =  - 6\\{y_Q} = {y_T} = OH = \frac{{AB}}{2} = 3\end{array} \right.\).

\({z_Q} = QT = 7\)

Suy ra \(Q\left( { - 6;\,3;\,7} \right)\).

b) Đúng. Vì \(C \in \left( {Oxy} \right)\) nên \({z_C} = 0\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} =  - OD =  - 6\\{y_C} = ON = AB = 6\end{array} \right.\). Suy ra \(C\left( { - 6;\,6;\,0} \right)\). Vậy \(\overrightarrow {OC}  = \left( { - 6;\,6;\,0} \right)\).

c) Đúng Gọi \(L\) là trung điểm của \(FG\).

Ta có: \({z_K} = OK = AE = 5\).

Suy ra \(K\left( {0;\,0;\,5} \right)\).

\( \Rightarrow OK = 5\).

\(B\), \(C\) lần lượt là hình chiếu của \(F\), \(G\) lên \(\left( {Oxy} \right)\).

Suy ra \(F\left( {2;\,6;\,5} \right)\), \(G\left( { - 6;\,6;\,5} \right)\).

Mà \(L\) là trung điểm của \(FG\) nên \(L\left( { - 2;\,6;\,5} \right)\)\( \Rightarrow KL = 2\sqrt {10} \).

Vậy độ dài đoạn cáp tối thiểu từ \(O\) đến \(K\) sau đó nối thẳng đến camera là

\(OK + KL = 5 + 2\sqrt {10} \) (m)

d) Sai. \(FG = \sqrt {{{\left( { - 6 - 2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 6} \right)}^2} + {{\left( {5 - 5} \right)}^2}}  = 8\) (m) .

\(GQ = \sqrt {{{\left( { - 6 + 6} \right)}^2} + {{\left( {3 - 6} \right)}^2} + {{\left( {7 - 5} \right)}^2}}  = \sqrt {13} \) (m).

Suy ra \({S_{FGQP}} = FG \cdot GQ = 8\sqrt {13} \) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Diện tích lợp tôn mái nhà là \(2{S_{FGQP}} = 16\sqrt {13} \) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lợp mái nhà là

\(16\sqrt {13}  \cdot 130\,000 \approx 7\,500\,000\) (đồng).

Gán các lực \[\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {SB} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {SC} .\]

Vì \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\) và góc tạo bởi mỗi chân của giá đỡ với mặt đất bằng \(60^\circ \) nên \(S.ABC\) là hình chóp đều.

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC,\,\,G\) là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right).\)

Ta có \(\widehat {SBG} = 60^\circ  \Rightarrow SG = SA.\sin 60^\circ  = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SA = \frac{{2SG}}{{\sqrt 3 }}.\)

Đặt \(\overrightarrow F  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = 30\left( {\rm{N}} \right).\)

Vì \(\overrightarrow F  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  = 3\overrightarrow {SG}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = 3\left| {\overrightarrow {SG} } \right| \Rightarrow SG = \frac{{\left| {\overrightarrow F } \right|}}{3} = 10.\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| = 2\frac{{SG}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \approx 11,5\left( {\rm{N}} \right).\)

Đáp án: 11,5.