B. Tự luận

Cho hình lập phươngABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng \(5\).

a) Tìm góc giữa các cặp vectơ sau: \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {B'D'} \); \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CD} \); \(\overrightarrow {AD'} \) và \(\overrightarrow {BD} \).

b) Tính các tích vô hướng:\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'D'} \); \(\overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {BD} \).

c) Chứng minh \(\overrightarrow {AC'} \) vuông góc với \(\overrightarrow {BD} \).

a) Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \widehat {CAB} = 45^\circ \);  \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {B'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {BD'} } \right) = 90^\circ \)

\[\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CD} } \right) = \left( {\overrightarrow {CE} ,\,\overrightarrow {CD} } \right) = 180^\circ  - 45^\circ  = 135^\circ \] (\(E\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(C\))

\(\overrightarrow {AD'}  = \overrightarrow {BC'}  \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AD'} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \widehat {C'BD}\) mà tam giác \(C'BD\) là tam giác đều nên khi đó ta có \(\widehat {C'BD} = 60^\circ \).

b) Ta có \(AC = BD = B'D' = 5\sqrt 2 \) suy ra:

$·\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=AC.AB.\text{cos45}°=25$.

Do \(AC\) vuông góc với \(B'D'\) nên \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'D'}  = 0\).

$·\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}.\overrightarrow{BD}=A{D}^{\text{'}}.BD.\text{cos60}°=\text{5}\sqrt{2}.\sqrt{2}.\frac{1}{2}=25$.

c) Ta cần chứng minh \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD}  = 0\)

Ta có: \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} \) nên \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} } \right).\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\[ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {A{B^2}}  + \overrightarrow {A{D^2}}  - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB}  = {5^2} - {5^2} = 0\].

Suy ra \(\overrightarrow {AC'} \) vuông góc với \(\overrightarrow {BD} \) (điều phải chứng minh).