Câu hỏi:

03/10/2025 22 Lưu

B. Tự luận

Cho hình lập phươngABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng \(5\).

a) Tìm góc giữa các cặp vectơ sau: \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {B'D'} \); \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CD} \); \(\overrightarrow {AD'} \) và \(\overrightarrow {BD} \).

b) Tính các tích vô hướng:\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'D'} \); \(\overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {BD} \).

c) Chứng minh \(\overrightarrow {AC'} \) vuông góc với \(\overrightarrow {BD} \).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Cho hình lập phương\(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(5\). (ảnh 1)

a) Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \widehat {CAB} = 45^\circ \);  \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {B'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {BD'} } \right) = 90^\circ \)

\[\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CD} } \right) = \left( {\overrightarrow {CE} ,\,\overrightarrow {CD} } \right) = 180^\circ  - 45^\circ  = 135^\circ \] (\(E\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(C\))

\(\overrightarrow {AD'}  = \overrightarrow {BC'}  \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AD'} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \widehat {C'BD}\) mà tam giác \(C'BD\) là tam giác đều nên khi đó ta có \(\widehat {C'BD} = 60^\circ \).

b) Ta có \(AC = BD = B'D' = 5\sqrt 2 \) suy ra:

·   AC.AB=AC.AB.cos45°=25.

Do \(AC\) vuông góc với \(B'D'\) nên \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'D'}  = 0\).

·   AD'.BD=AD'.BD.cos60°=52.2.12=25.

c) Ta cần chứng minh \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD}  = 0\)

Ta có: \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} \) nên \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} } \right).\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\[ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {A{B^2}}  + \overrightarrow {A{D^2}}  - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB}  = {5^2} - {5^2} = 0\].

Suy ra \(\overrightarrow {AC'} \) vuông góc với \(\overrightarrow {BD} \) (điều phải chứng minh).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân. Trọng lực tác dụng lên chiếc máy có độ lớn là \(30{\rm{N}}\) và được phân bố thành ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2} (ảnh 2)

Gán các lực \[\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {SB} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {SC} .\]

Vì \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\) và góc tạo bởi mỗi chân của giá đỡ với mặt đất bằng \(60^\circ \) nên \(S.ABC\) là hình chóp đều.

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC,\,\,G\) là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right).\)

Ta có \(\widehat {SBG} = 60^\circ  \Rightarrow SG = SA.\sin 60^\circ  = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SA = \frac{{2SG}}{{\sqrt 3 }}.\)

Đặt \(\overrightarrow F  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = 30\left( {\rm{N}} \right).\)

Vì \(\overrightarrow F  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  = 3\overrightarrow {SG}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = 3\left| {\overrightarrow {SG} } \right| \Rightarrow SG = \frac{{\left| {\overrightarrow F } \right|}}{3} = 10.\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| = 2\frac{{SG}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \approx 11,5\left( {\rm{N}} \right).\)

Đáp án: 11,5.

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt 3 ,\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 1;0} \right) \Rightarrow AC = \sqrt 2 \), \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2;0; - 1} \right) \Rightarrow BC = \sqrt 5 \).

a) Đúng. \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 0\) do đó \(AB \bot AC\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

b) Sai. Chu vi của tam giác là \(AB + AC + BC = \sqrt 3  + \sqrt 2  + \sqrt 5 \).

c) Sai. Diện tích là \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

d) Đúng. Tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của \(BC\) có tọa độ \(I\left( {1;1;\frac{1}{2}} \right)\).

Câu 4

A. \(\left( {3;6;3} \right)\).                                  
B. \(\left( {3;6; - 3} \right)\).          
C. \(\left( {3; - 3;6} \right)\).                          
D. \(\left( {3;2;1} \right)\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP