Biến đổi thành tổng biểu thức \(\sin x\sin 2x\sin 3x\).

\(\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}} \Rightarrow \tan a + \tan b = \tan (a + b)(1 - \tan a\tan b)\) mà \(a + b = \frac{\pi }{4}\) và \(\tan a\tan b = 3 - 2\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \tan a + \tan b = \tan \frac{\pi }{4}[1 - (3 - 2\sqrt 2 )] = - 2 + 2\sqrt 2 {\rm{. }}\)

Đặt \(S = \tan a + \tan b;P = \tan a\tan b\).

Khi đó \(\tan a,\tan b\) là nghiệm của phương trình

\({X^2} - SX + P = 0 \Leftrightarrow {X^2} - (2\sqrt 2 - 2)X + 3 - 2\sqrt 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow X = - 1 + \sqrt 2 {\rm{. }}\)Suy ra \(\tan a = \tan b = - 1 + \sqrt 2 \).

\(\begin{array}{*{20}{l}}A&{ = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x}}}\\{}&{ = \frac{{(\sin 3x + \sin x) + (\sin 4x + \sin 2x)}}{{(\cos 3x + \cos x) + (\cos 4x + \cos 2x)}} = \frac{{2\sin 2x\cos x + 2\sin 3x\cos x}}{{2\cos 2x\cos x + 2\cos 3x\cos x}}}\\{}&{ = \frac{{2\cos x(\sin 2x + \sin 3x)}}{{2\cos x(\cos 2x + \cos 3x)}} = \frac{{2\sin \frac{{5x}}{2}\cos \frac{x}{2}}}{{2\cos \frac{{5x}}{2}\cos \frac{x}{2}}} = \tan \frac{{5x}}{2}}\end{array}\)