Tìm tập giá trị của hàm số: $y = \sin x + \sqrt 3 \cos x + 3$;

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Hàm số lượng giác (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$y = \sin x + \sqrt 3 \cos x + 3$

Ta có $y = \sin x + \sqrt 3 \cos x + 3 = 2\left( {\frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right) + 3 = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3$.

Do $ - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 2 \Leftrightarrow 1 \le 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3 \le 5 \Leftrightarrow 1 \le y \le 5$

Vậy giá trị của hàm số là $T = [1;5]$.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chiều cao so với mực nước biển trung bình tại thời điểm $t$ (giây) của mỗi cơn sóng được cho bởi hàm số $h(t) = 75\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right)$, trong đó $h(t)$ được tính bằng centimét.

a) Chiều cao của sóng tại các thời điểm 5 giây bằng $69,3(\;cm)$

b) Chiều cao của sóng tại các thời điểm 20 giây bằng $75(\;cm)$

c) Trong 30 giây đầu tiên (kể từ mốc $t = 0$ giây), thời điểm để sóng đạt chiều cao lớn nhất 6 giây

d) Trong 30 giây đầu tiên (kể từ mốc $t = 0$ giây), thời điểm để sóng đạt chiều cao lớn nhất 18 giây

(Tất cả kết quả được làm tròn đến hàng phần mười)

Xem đáp án

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Khi $t = 5$, ta có: $h(5) = 75\sin \left( {\frac{{\pi .5}}{8}} \right) \approx 69,3(\;cm)$.

b) Khi $t = 20$, ta có: $h(20) = 75\sin \left( {\frac{{\pi \cdot 20}}{8}} \right) = 75(\;cm)$.

c) d) Ta có: $\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) \le 1 \Rightarrow 75\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) \le 75$ hay $h(t) \le 75$.

Giá trị lớn nhất của $h(t)$ là 75, khi đó $\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) = 1 \Rightarrow \frac{{\pi t}}{8} = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$ $ \Rightarrow t = 4 + 16k(k \in \mathbb{Z})$. Vì $t \in [0;30] \Rightarrow t \in \{ 4;20\} $ (ứng với $k$ bằng 0 và 1).

Vậy tại các thời điểm 4 giây hoặc 20 giây (trong 30 giây đầu tiên) thì cơn sóng đạt chiều cao cực đại (là $75\;cm$).

Câu 2

Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính của guồng đều bằng $3{\rm{\;m}}$. Xét gàu $G$ của guồng. Ban đầu gàu $G$ nằm ở vị trí $A$ (Hinh 12$)$.

$Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính của guồng đều bằng $3{\rm{\;m}}$. Xét gàu $G$ của guồng. Ban đầu gàu $G$ nằm ở vị trí $A$ (Hinh 12$)$. (ảnh 1)$

a) Viết hàm số $h$ biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu $G$ so với mặt nước theo góc $\alpha = \left( {OA,OG} \right)$.

b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây. Dựa vào đồ thị của hàm số $\sin $, hãy cho biết ở các thời điềm $t$ nào trong 1 phút đầu, khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng $1,5{\rm{\;m}}$.

Xem đáp án

Lời giải

a) $h = 3 + 3.{\rm{sin}}\alpha $

b) Trong 1 phút đầu, guồng nước quay được 2 vòng. Ta có $0 \le \alpha \le 4\pi $

Khi ${\rm{h}} = 1,5$. Suy ra ${\rm{sin}}\alpha = \frac{{ - 1}}{2}$.

Khi đó, $\alpha = \frac{{7\pi }}{6};\alpha = \frac{{11\pi }}{6};\alpha = \frac{{19\pi }}{6}$ hoặc $\alpha = \frac{{23\pi }}{6}$.

Câu 3