Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \[{\cos ^2}(\frac{x}{2} - \frac{\pi }{2}) = m\] có nghiệm.

Ta có: \(\cos \left( {{{75}^^\circ } - x} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {{{75}^^\circ } - x} \right) = \cos {135^^\circ }\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{75}^^\circ } - x = {{135}^^\circ } + k{{360}^^\circ }}\\{{{75}^^\circ } - x = - {{135}^^\circ } + k{{360}^^\circ }}\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - {{60}^^\circ } - k{{360}^^\circ }}\\{x = {{210}^^\circ } - k{{360}^^\circ }}\end{array}(k \in \mathbb{Z}).} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm: \(x = - {60^^\circ } - k{360^^\circ };x = {210^^\circ } - k{360^^\circ }(k \in \mathbb{Z})\).

Ta có: \(\sin x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \pi - ( - \frac{\pi }{6}) + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi ;x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).

Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{6}\)

Khi \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\) phương trình có hai nghiệm