Cho phương trình lượng giác \({\sin ^2}2x + {\cos ^2}5x = 1\), vậy:

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\frac{{1 - \cos 4x}}{2} + \frac{{1 + \cos 10x}}{2} = 1\)

b) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{7}\)

c) Nghiệm âm lớn nhất của phương trình nhỏ hơn \( - \frac{\pi }{3}\)

d) Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất bằng 0

Do \(\frac{\pi }{2} < \alpha \), \(\beta  < \pi \)\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha  < 0\\\sin \beta  > 0\end{array} \right.\].

Ta có \[\cos \alpha  =  - \;\sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  - \;\sqrt {1 - \frac{1}{9}}  =  - \;\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\]. \[\sin \beta  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\beta }  = \sqrt {1 - \frac{4}{9}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\].

Suy ra \[\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \alpha .\cos \beta  + \cos \alpha .\sin \beta  = \frac{1}{3}.\left( { - \frac{2}{3}} \right) + \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right).\frac{{\sqrt 5 }}{3} =  - \;\frac{{2 + 2\sqrt {10} }}{9}\].

Vậy \[\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) =  - \;\frac{{2 + 2\sqrt {10} }}{9}\].

 a) Mọi góc lượng giác \(\left( {Ou,Ov} \right)\) có số đo là \(\frac{{33\pi }}{4} + k2\pi ,\,\,k \in Z\)

Vì \(0 \le \alpha \le 2\pi \) nên \(0 \le \frac{{33\pi }}{4} + k2\pi \le 2\pi ,\,\,k \in Z \Leftrightarrow 0 \le \frac{{33}}{4} + k2 \le 2,\,\,k \in Z\)

\( \Leftrightarrow - \frac{{33}}{8} \le k \le - \frac{{25}}{8},\,\,k \in Z \Leftrightarrow k = - 4\)

Suy ra \(\alpha = \frac{{33\pi }}{4} + \left( { - 4} \right).2\pi = \frac{\pi }{4}\)

b) c) Mọi góc lượng giác \(\left( {Ou,Ov} \right)\) có số đo là \( - \frac{{291983\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,k \in Z\)

Vì \(0 \le \alpha \le 2\pi \) nên \(0 \le - \frac{{291983\pi }}{3} + k2\pi \le 2\pi ,\,\,k \in Z \Leftrightarrow 0 \le - \frac{{291983}}{3} + k2 \le 2,\,\,k \in Z\)

\( \Leftrightarrow \frac{{291983}}{6} \le k \le \frac{{291989}}{6}\,,\,\,k \in Z \Leftrightarrow k = \)

Suy ra \(\alpha = - \frac{{291983\pi }}{3} + 48664.2\pi = \frac{\pi }{3}\)

c) Mọi góc lượng giác \(\left( {Ou,Ov} \right)\) có số đo là \(30 + k2\pi ,\,\,k \in Z\)

Vì \(0 \le \alpha \le 2\pi \) nên \(0 \le 30 + k2\pi \le 2\pi ,\,\,k \in Z \Leftrightarrow 0 \le \frac{{15}}{\pi } + k \le 1,\,\,k \in Z\)

\( \Leftrightarrow - \frac{{15}}{\pi } \le k \le \frac{{\pi - 15}}{\pi },\,\,k \in Z \Leftrightarrow k = - 4\)

Suy ra \(\alpha = 30 + \left( { - 4} \right).2\pi = 30 - 8\pi \approx 4,867\).