Dãy số \({u_n} = 3 + {3^n}.\) là một cấp số nhân với              

Gọi \(q\) là công bội và \({S_{21}}\) là tổng của 21 số hạng đầu của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_4} + {u_6} = - 540}\\{{u_3} + {u_5} = 180}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{u_3} + {u_5}} \right)q = - 540}\\{{u_3} + {u_5} = 180}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{180q = - 540}\\{{u_3} + {u_5} = 180}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = - 3}\\{{u_1}{{( - 3)}^2} + {u_1}{{( - 3)}^4} = 180}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = - 3}\\{{u_1}(9 + 81) = 180}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = - 3}\\{{u_1} = 2}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)

Số \( - 486 = 2.{( - 3)^5}\) nên số \( - 486\) là số hạng thứ 6

Suy ra \({S_{21}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{21}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2\left[ {1 - {{( - 3)}^{21}}} \right]}}{{1 - ( - 3)}} = \frac{{1 + {3^{21}}}}{2}\).

a) Ta có: \({u_{n + 1}} = {(\sqrt 5 )^{2(n + 1) - 3}} = {(\sqrt 5 )^{2n - 1}} \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{(\sqrt 5 )}^{2n - 1}}}}{{{{(\sqrt 5 )}^{2n - 3}}}} = {(\sqrt 5 )^2} = 5,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\) với công bội \(q = 5\).

b) Ta có: \({v_{n + 1}} = \frac{2}{{n + 1}} \Rightarrow \frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{n}{{n + 1}}\) (tỉ số này còn phụ thuộc vào \(n\)).

Do đó \(\left( {{v_n}} \right)\) không phải là một cấp số nhân.

c) Ta có: \({w_{n + 1}} = \frac{{{3^{n + 2}}}}{{{2^{n + 1}}}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^n}}} \Rightarrow \frac{{{w_{n + 1}}}}{{{w_n}}} = \frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^n}}}}}{{\frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^n}}}}} = \frac{3}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Do đó \(\left( {{w_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({w_1} = \frac{{{3^2}}}{{{2^1}}} = \frac{9}{2}\) với công bội \(q = \frac{3}{2}\)

d) Đặt \({u_1} = 16;{u_2} = 4;{u_3} = 1;{u_4} = \frac{1}{4};{u_5} = \frac{1}{{16}};{u_6} = \frac{1}{{64}}\).

Ta có: \({u_2} = {u_1} \cdot \frac{1}{4};{u_3} = {u_2} \cdot \frac{1}{4};{u_4} = {u_3} \cdot \frac{1}{4};{u_5} = {u_4} \cdot \frac{1}{4};{u_6} = {u_5} \cdot \frac{1}{4}\).

Vì vậy dãy số hữu hạn đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng \(\frac{1}{4}\).