Khi đo mắt cho học sinh khối 10 ở một trường THPT nhân viên y tế ghi nhận lại ở bảng sau:

Thời gian	\([0,25;0,75)\)	\([0,75;1,25)\)	\([1,25;1,75)\)	\([1,75;2,25)\)	\([2,25;2,75)\)
Số lần	25	32	14	12	4

a) Số trung bình của mẫu số liệu trên là \(1,14\).

b) Nhóm chứa mốt của số liệu là \([0,75;1,25)\).

c) Mốt của mẫu số liệu là \({M_^\circ } = 0,89\).

d) Trung vị của mẫu số liệu là \({M_e} = 1,039\)

Ta có số phần tử của mẫu là: \[n = 42 \Rightarrow \frac{n}{4} = 10,5\].

Suy ra nhóm \[2\] là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \[10,5\].

Xét nhóm \[2\] là nhóm \[\left[ {2\,;\,3} \right)\] có \[s = 2\,;\,h = 1\,;\,{n_2} = 10\,\]và nhóm \[1\] là nhóm \[\left[ {1\,;\,2} \right)\]có \[c{f_1} = 8\].

Áp dụng công thức ta có trung vị của mẫu số liệu là:

\[{Q_1} = 2 + \left( {\frac{{10,5 - 8}}{{10}}} \right).1 = 2,25\].

Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{82}}\) lần lượt là điểm trung bình môn Toán của các học sinh sắp xếp theo thứ tự không giảm. Ta có: \({x_1}; \ldots ;{x_8} \in [6,5;7);{x_9}; \ldots ;{x_{18}} \in [7;7,5);{x_{19}}; \ldots ;{x_{34}} \in [8;8,5)\); \({x_{59}}; \ldots ;{x_{71}} \in [8,5;9);{x_{72}}; \ldots ;{x_{78}} \in [7;7,5);{x_{79}}; \ldots ;{x_{82}} \in [9,5;10)\).

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{41}} + {x_{42}}} \right)\) mà \({x_{41}};{x_{42}} \in [8;8,5)\) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là: \({Q_2} = 8 + \frac{{\frac{{82}}{2} - 34}}{{24}}(8,5 - 8) = 8,15\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \({x_{21}} \in [7,5;8)\).

Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: \({Q_1} = 7,5 + \frac{{\frac{{82}}{4} - 18}}{{16}}(8 - 7,5) = 7,58\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \({x_{62}} \in [8,5;9)\).

Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: \({Q_3} = 8,5 + \frac{{\frac{{3.82}}{4} - 58}}{{13}}(9 - 8,5) = 8,63\).