Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA\) và \(SB\). Chứng minh rằng \(IJ//AB\), từ đó suy ra \(IJ//CD\).

Vì \(N\) là giao điểm của \(ME\) và \(BD\) nên \(N\) thuộc cả hai mặt phẳng \((MEF)\) và \((BCD)\).

Tương tự, \(P\) cũng thuộc cả hai mặt phẳng đó nên suy ra \(NP\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((MEF)\) và \((BCD)\).

Vì \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(EF//BC\). Hai mặt phẳng \((MEF)\) và \((BCD)\) chứa hai đường thẳng song song là \(EF\) và \(BC\) nên giao tuyến \(NP\) của hai mặt phẳng đó song song với \(EF\) và \(BC\).

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((GIJ)\) và \((BCD)\):

Vì \(IJ\) là đường trung bình của tam giác \(ACD\) nên \(IJ//CD\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{G \in (GIJ) \cap (BCD)}\\{IJ//CD}\\{IJ \subset (GIJ),CD \subset (BCD)}\end{array} \Rightarrow Gx = (GIJ) \cap (BCD)} \right.\), trong đó \(Gx\) là đường thẳng qua \(G\) và \(Gx//IJ//CD\).

c) Trong mặt phẳng \((BCD)\), kẻ \(Gx\) song song \(CD\) cắt \(BC\) tại \(M\), cắt \(BD\) tại \(N\).

Tính \(2IJ + 3MN\)

Gọi \(E\) là trung điểm \(CD\), theo định lí Thalès, ta có:

\(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{BG}}{{BE}} = \frac{2}{3}{\rm{ (v\`i }}GM//CE);\frac{{MN}}{{CD}} = \frac{{BM}}{{BC}}{\rm{ (v\`i }}MN//CD{\rm{)}}{\rm{. }}\)

Suy ra \(\frac{{MN}}{{CD}} = \frac{2}{3}\) hay \(MN = \frac{2}{3}CD = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\).

Vì \(IJ\) là đường trung bình tam giác \(ACD\) nên \(IJ = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\).

Do đó \(2IJ + 3MN = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 18\).

d) \(3IJ + 2MN = 3 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 17\)