Cho hình hộp \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Một mặt phẳng \((P)\) cắt các cạnh \(AD,BC,{B^\prime }{C^\prime }\),\({A^\prime }{D^\prime }\) lần lượt tại \(E,F,G,H\). Chứng minh rằng tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành.

a) b) c) Cho hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) nằm ở hai mặt phẳng khác nhau. Chứng minh rằng: \((ADF)//(BCE)\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{EF//CD(//AB)}\\{EF = CD( = AB)}\end{array} \Rightarrow EFDC} \right.\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow FD//EC\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD//BC;AF//BE}\\{AD,AF \subset (ADF);AD \cap AF = A}\\{BC,BE \subset (BEC);BC \cap BE = B}\end{array} \Rightarrow (ADF)//(BCE)} \right.\)

d) Tính \(\frac{{AN}}{{NC}}\).

Vẽ mp \((P)\) chứa \(M\) và \((P)//(ADF)\) cắt \(AB,AC,CD,EF\) lần lượt tại \(I,N,K,J\).

Ta có: \(\frac{{AI}}{{BI}} = \frac{{AN}}{{NC}}(IN//BC)\)

Ta có: \(\frac{{EJ}}{{IS}} = \frac{{ME}}{{MS}} = 2(IS//JE)\)

\(BI = EJ\) (tứ giác BIJE là hình bình hành)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{BI}}{{IS}} = 2 \Rightarrow \frac{{BI}}{2} = \frac{{IS}}{1} = \frac{{BI + IS}}{{2 + 1}} = \frac{{BS}}{3}\\ \Rightarrow BI = \frac{2}{3}BS;IS = \frac{1}{3}BS\end{array}\)

Ta có: \(AI = AS + AI = BS + \frac{1}{3}BS = \frac{4}{3}BS \Rightarrow > \frac{{AI}}{{BI}} = \frac{{\frac{4}{3}BS}}{{\frac{2}{3}BS}} = 2 \Rightarrow \frac{{AN}}{{NC}} = 2\)

Chọn A

Ta có: \(IM\,{\rm{//}}\,CD \Rightarrow IM\,{\rm{//}}\,AB \Rightarrow IM\,{\rm{//}}\,\left( {SAB} \right)\left( 1 \right)\).

Trong \(\left( {ABCD} \right):\frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{IC}}{{AC}} = \frac{2}{3} = \frac{{CM}}{{CB}}\).

Mà \(\frac{{CN}}{{CS}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{CN}}{{CS}} = \frac{{CM}}{{CB}} \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,SB \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,\left( {SAB} \right)\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow \left( {IMN} \right)\,{\rm{//}}\,\left( {SAB} \right)\).