Cho tam giác \(ABC\) và một điểm \(M\) tùy ý không thuộc các đường thẳng \(AB,BC,AC\). Gọi \({A^\prime },{B^\prime },{C^\prime }\) theo thứ tự là các điểm đối xứng của \(M\) qua các trung điểm \(J,K,I\) của cạnh \(BC,AC,AB\).

Biết ba đường thẳng \(A{A^\prime },B{B^\prime },C{C^\prime }\) đồng quy tại một điểm (đặt điểm đó là \(N\)).

Khi đó \(MN\) luôn đi qua một điểm cố định khi \(M\) di động. Vậy điểm cố định đó là điểm nào?

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có \(\hat A = {30^^\circ },AB = a\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\). Hãy tính:

\(|\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} |\).

Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6

Một người đi xe máy từ Tây sang hướng Đông với vận tốc 40 km/h được biểu thị bởi vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \), một người khác đi xe máy từ hướng Đông sang hướng Tây với vận tốc 60 km/h được biểu thị bởi vectơ \(\overrightarrow {{v_2}} \). Hãy biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {{v_2}} \) theo \(\overrightarrow {{v_1}} \).

Cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm. Gọi \(D\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(G,M\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó:

a) \(\overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GD} \)

b) \(\overrightarrow {AG}  = 2\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

c) \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} \)

d) \(\overrightarrow {MD}  =  - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} {\rm{. }}\)

Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(I,J\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,CD\) và \(IJ = \frac{5}{4}\).

Gọi \(M,N\) theo thứ tự là trung điểm của \(BC,AC\). Tính \(|\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CI} |\)?

Cho ngũ giác ABCDE. Các điểm M,N,P,Q,R,S theo thứ tự là trung điểm của các đoạn EA,AB,BC,CD,MP,NQ. Khi đó:

a) \(\overrightarrow {RS}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ} )\)

b) \(\overrightarrow {RS}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {ED} .\)

c) \(RS\)cắt \(ED\)

d) \(RS = \frac{1}{4}ED\)

Cho hình chữ nhật ABCD, I, K lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chọn đẳng thức đúng.