Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a.\) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} .\)

Cho hình chữ nhật \(ABCD,AB = 4a,AD = 3a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB,G\) là trọng tâm tam giác \(ACM\) (Hình).

a) \(\overrightarrow {CM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  - 3\overrightarrow {BC} \)

b) \(\overrightarrow {BG}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\)

c) \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {BA}  = 0\)

d) \(\overrightarrow {BG}  \cdot \overrightarrow {CM}  =  - {a^2}.\)

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = a,AC = 2\sqrt 3 a\) và \(AM\) là trung tuyến. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {AM} \).

Cho tam giác \(ABC\), trung tuyến \(AM\). Khi đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = A{M^2} - kB{C^2}.\) Vậy \(k = ?\)

Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho các vectơ \(\vec a = ( - 2;3),\vec b = (4;1)\). Khi đó:

a) \(\vec a(\vec a - \vec b) = 12\)

b) \((\vec a + \vec b)(2\vec a - \vec b) = 4\)

c) Vectơ \(\vec c = m\vec i + \vec j\) vuông góc với \(\vec a\) khi \(m = \frac{3}{2}\)

d) Tọa độ vectơ \(\vec d\) sao cho \(\vec a.\vec d = 4,\vec b.\vec d =  - 2\) bằng \(\left( { - \frac{5}{7};\frac{6}{7}} \right)\)

Cho hình vuông \(ABCD\); \(E\) là trung điểm của \(AB,F\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {AF}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \). Xác định vị trí của điểm \(M\) trên đường thẳng \(BC\) sao cho \(\widehat {EFM} = {90^^\circ }\).