Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các vectơ $\vec a = (2;5),\vec b = (3; - 7)$, $\vec c = (1;1)$. Khi đó:

a) $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 29$

b) $(\vec a,\vec b) = 15^\circ $

c) $(\vec a,\vec c) \approx 23,1986^\circ $

d) Để $\vec d = (4x + 1)\vec i + (x + 4)\vec j$ tạo với vectơ $\vec c$ một góc $45^\circ $ thì $x = - \frac{1}{4}.$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Tích vô hướng của hai vectơ (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) Ta có: $\cos (\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{|\vec a| \cdot |\vec b|}} = \frac{{2.3 + 5( - 7)}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {{( - 7)}^2}} }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow (\vec a,\vec b) = 135^\circ $; $\cos (\vec a,\vec c) = \frac{{\vec a \cdot \overrightarrow c }}{{|\vec a| \cdot |\overrightarrow c |}} = \frac{{2.1 + 5.1}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{7\sqrt {58} }}{{58}} \Rightarrow (\vec a,\vec c) \approx 23,1986^\circ $.

b) Ta có: $\vec d = (4x + 1;x + 4)$ tạo với $\vec c$ một góc $45^\circ $ nên:

$\cos (\vec d,\vec c) = \frac{{\vec d \cdot \vec c}}{{|\vec d| \cdot |\vec c|}} = \frac{{4x + 1 + x + 4}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt {{{(4x + 1)}^2} + {{(x + 4)}^2}} }} = \cos 45^\circ $

$ \Leftrightarrow \frac{{5x + 5}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt {17{x^2} + 16x + 17} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow 5x + 5 = \sqrt {17{x^2} + 16x + 17} $

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge - 1}\\{17{x^2} + 16x + 17 = 25{x^2} + 50x + 25}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge - 1}\\{8{x^2} + 34x + 8 = 0}\end{array} \Leftrightarrow x = - \frac{1}{4}.} \right.} \right.$

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chữ nhật $ABCD,AB = 4a,AD = 3a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB,G$ là trọng tâm tam giác $ACM$ (Hình).

$Cho hình chữ nhật $ABCD,AB = 4a,AD = (ảnh 1)$

a) \(\overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - 3\overrightarrow {BC} $

b) $\overrightarrow {BG} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .$

c) $\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = 0$

d) $\overrightarrow {BG} \cdot \overrightarrow {CM} = - {a^2}.$

Xem đáp án

Lời giải

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Ta có: $\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} $.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ACM$ nên

$3\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {BG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .$

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC = AD = 3a,\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = 0$.

Ta có: $\overrightarrow {BG} \cdot \overrightarrow {CM} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}$

$ = \frac{1}{4}{(4a)^2} - \frac{1}{3} \cdot 4a \cdot 3a - \frac{1}{3}{(3a)^2} = - 3{a^2}.$

Câu 2

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = a,AC = 2\sqrt 3 a$ và $AM$ là trung tuyến. Tính tích vô hướng $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AM} $.

Xem đáp án

Lời giải

Tam giác $AMB$ có $AM = BM = AB$ nên là tam giác đều. Suy ra $\hat{M A B} = 60^{°}$

$\vec{B A} \cdot \vec{A M} = - \vec{A B} \cdot \vec{A M} = - | \vec{A B} | \cdot | \vec{A M} | \cdot \cos (\vec{A B}, \vec{A M}) = - a \cdot a \cdot \cos 60^{°} = \frac{- a^{2}}{2}$

Câu 3