Cho \(\Delta ABC\) có điểm \(D\), I thỏa \(3\overrightarrow {DB}  = 2\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB}  - 2\overrightarrow {IC}  = \vec 0\). Khi đó \(\overrightarrow {AD}  = k\overrightarrow {AI} \). Vậy \(k = ?\)

Xét \(\Delta MAD\) vuông tại \(A\), ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{M{D^2}}&{ = A{D^2} + A{M^2}}\\{}&{ = {a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} = \frac{{5{a^2}}}{4} \Rightarrow MD = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.}\end{array}\)

Qua \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(AD\) cắt \(AB\) tại \(P\).

Khi đó tứ giác \(ADNP\) là hình vuông và \(PM = PA + AM = a + \frac{a}{2} = \frac{{3a}}{2}\).

Xét tam giác \(NPM\) vuông tại \(P\), ta có: \(M{N^2} = P{M^2} + P{N^2} = {\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2} + {a^2} = \frac{{13{a^2}}}{4} \Rightarrow MN = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.\)

Vậy các độ dài vectơ cần tìm là: \(|\overrightarrow {MD} | = MD = \frac{{a\sqrt 5 }}{2},|\overrightarrow {MN} | = MN = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\).

Cách 1. \(JA = \frac{2}{3}JC \Leftrightarrow 3JA = 2JC\) mà \(\overrightarrow {JA} \) và \(\overrightarrow {JC} \) ngược hướng

\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {JA}  =  - 2\overrightarrow {JC}  \Leftrightarrow 3(\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BJ} ) + 2(\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BJ} ) = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow 5\overrightarrow {BJ}  = 3\overrightarrow {BA}  + 2\overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BJ}  = \frac{3}{5}\overrightarrow {BA}  + \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} \).

Cách 2: J thuộc cạnh AC và \(JA = \frac{2}{3}JC \Rightarrow \frac{{AJ}}{{AC}} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow AJ = \frac{2}{5}AC\)

\(\overrightarrow {BJ}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AJ}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{5}(\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA} ) = \frac{3}{5}\overrightarrow {BA}  + \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} \)