Cho \(\Delta ABC\). Gọi J là điểm trên cạnh \(AC\) sao cho \(JA = \frac{2}{3}JC\). Tính \(\overrightarrow {BJ} \) theo 2 vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \). Tính \(\overrightarrow {BJ} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \).

Xét \(\Delta MAD\) vuông tại \(A\), ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{M{D^2}}&{ = A{D^2} + A{M^2}}\\{}&{ = {a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} = \frac{{5{a^2}}}{4} \Rightarrow MD = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.}\end{array}\)

Qua \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(AD\) cắt \(AB\) tại \(P\).

Khi đó tứ giác \(ADNP\) là hình vuông và \(PM = PA + AM = a + \frac{a}{2} = \frac{{3a}}{2}\).

Xét tam giác \(NPM\) vuông tại \(P\), ta có: \(M{N^2} = P{M^2} + P{N^2} = {\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2} + {a^2} = \frac{{13{a^2}}}{4} \Rightarrow MN = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.\)

Vậy các độ dài vectơ cần tìm là: \(|\overrightarrow {MD} | = MD = \frac{{a\sqrt 5 }}{2},|\overrightarrow {MN} | = MN = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\).

Chọn B

Ta có \(\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND}  - \overrightarrow {NA}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} \)

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {NC}  - \overrightarrow {NA} } \right) + \overrightarrow {ND}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) - \overrightarrow {AC} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {ND}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {DN} \)

\( \Rightarrow ACND\) là hình bình hành \( \Rightarrow C\) là trung điểm cạnh BN.