Giá trị tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}dx} \) là \(1 - \ln a\). Khi đó \({a^2} + a + 2\) bằng bao nhiêu?

Cho \(A = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x + 2024m} \right)dx = 5} \). Tính \(B = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 3x + 3 + 2024m} \right)dx} \).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Giả sử \(y = F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(y = f\left( x \right)\) và \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = 3\) và \(F\left( 0 \right) = 2\). Tính \(F\left( 2 \right)\).

Một ô tô xuất phát với vận tốc \({v_1}\left( t \right) = 2t + 12\) (m/s), sau khi đi được khoảng thời gian \({t_1}\) thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc \({v_2}\left( t \right) = 24 - 6t\)(m/s) và đi thêm một khoảng thời gian \({t_2}\) nữa thì dừng lại. Hỏi từ khi xuất phát đến lúc dừng lại thì xe ô tô đã đi được bao nhiêu mét?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\) liên tục trên ℝ, \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).

a) \(\int\limits_0^\pi  {f\left( x \right)dx}  = 0\).

b) Biết \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\) thì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - f\left( x \right)} \right)dx}  = 2\).

d) \(\int\limits_{ - \pi }^\pi  {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  = 4\).

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {3x - 1} \right)^2}\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\).

a) \(\int\limits_{ - 1}^2 {f'\left( x \right)dx}  = 5\).

b) \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 3\).

c) \(\int\limits_0^1 {\left[ {3f\left( x \right) - 1} \right]dx}  = 8\).

d) \(\int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {f'\left( x \right) - 2xf\left( x \right)} \right]dx}  =  - \frac{{51}}{2}\).

Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc \(v\left( t \right) = {t^2} + 10t\) (m/s) với \(t\) là thời gian được tính bằng đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200 m/s thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).