Cho đồ thị các hàm số \(y = f\left( x \right) = x + 1\) và \(y = g\left( x \right) = 0,{7^x}\) như hình vẽ

a) \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}\).

b) Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 0\) xung quanh trục hoành bằng 9π.

c) Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = g\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 2\) quanh trục hoành có giá trị xấp xỉ bằng 7,9 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

d) Khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1;x = 2\) quanh trục hoành có thể tích xấp xỉ bằng 4,4 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đưa hình vẽ về dạng của hàm số \(y = a\sqrt x \)

Chọn hệ trục Oxy với Ox đi qua chính giữa trục của mảnh đất (theo chiều của chiều cao), gốc tọa độ O cách điểm chính giữa của đoạn AB là 4, khi đó ta có \({y_B} = 4;{y_C} = 6\) nên B(4; 4), C(9; 6).

Do đó ta tìm được a = 2.

Suy ra \(S = 2\int\limits_4^9 {2\sqrt x dx}  = \frac{{152}}{3} \approx 50,7\).

Trả lời: 50,7.

a) \(\int\limits_2^5 {f'\left( x \right)dx}  = \left. {f\left( x \right)} \right|_2^5 = f\left( 5 \right) - f\left( 2 \right)\).

b) \(\int\limits_2^3 {f'\left( x \right)dx}  = \left. {f\left( x \right)} \right|_2^3 = f\left( 3 \right) - f\left( 2 \right) =  - 1 - 0 =  - 1\).

c) Có \(S = \int\limits_2^3 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx}  =  - \int\limits_2^3 {f'\left( x \right)dx}  = \left. { - f\left( x \right)} \right|_2^3 =  - f\left( 3 \right) + f\left( 2 \right) = 1 + 0 = 1\).

d) \(\int\limits_2^5 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_2^3 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx}  + \int\limits_3^5 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} \)\( =  - \int\limits_2^3 {f'\left( x \right)dx}  + \int\limits_3^5 {f'\left( x \right)dx} \)\( = 1 + \left. {f\left( x \right)} \right|_3^5 = 1 + f\left( 5 \right) - f\left( 3 \right) = 2 + f\left( 5 \right)\).

Mà \(\int\limits_2^5 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx}  = 5\)\( \Leftrightarrow 2 + f\left( 5 \right) = 5 \Rightarrow f\left( 5 \right) = 3\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Sai.