Bác An dự định làm bốn mái nhà của một ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp tứ giác đều và các mái kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng đó có làm được không?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập Toán 12 Cánh diều Chương 5 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử mái nhà của ngôi nhà được minh họa như hình vẽ trên. Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Gọi các cạnh đáy của hình chóp có độ dài là \(a\) và các cạnh bên có độ dài là \(b\).

Vì \(ABCD\)là hình vuông cạnh \(a\) nên \(OA = OB = OC = OD = a\sqrt 2 \).

Vì \(SO\) là đường cao của tam giác \(SOC\)nên \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} \).

Khi đóta có: \(O\left( {0;0;0} \right);\,A\left( {\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),B\left( {0;\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2};0} \right);D\left( {0;\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\) và \(S\left( {0;0;\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {SC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right);\,\overrightarrow {DC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\); \(\,\overrightarrow {BC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\).

Mặt khác: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ;\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right] = \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\);

\(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ;\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} \) làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_2}} \) làm một vectơ pháp tuyến.

Vì \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = \frac{{ - {a^2}}}{2} \ne 0\) do đó hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\)không vuông góc với nhau.

Do đó ý tưởng trên không thực hiện được.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật trong không gian. Cách thức hoạt động của GPS như sau: Trong cùng một thời điểm, vị trí \(M\) của một vật sẽ được xác định bằng 4 vệ tinh cho trước, các vệ tinh này có gắn máy thu tín hiệu, bằng cách so sánh thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận tín hiệu phản hồi thì sẽ xác định được khoảng cách từ các vệ tinh đến vị trí \(M\). Như vậy, vị trí \(M\) là giao điểm của 4 mặt cầu có tâm là 4 vệ tinh đã cho. Giả sử trong không gian \(Oxyz\), 4 vệ tinh có tọa độ là \(A\left( { - 1;6;3} \right)\), \(B\left( {4;8;1} \right)\), \(C\left( {9;6;7} \right)\), \(D\left( { - 15;18;7} \right)\). Biết khoảng cách từ \(M\) đến các vệ tinh lần lượt là \(MA = 6\), \(MB = 7\), \(MC = 12\), \(MD = 24\). Khi đó tọa độ điểm \(M\left( {{x_M};\,{y_M};\,{z_M}} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = {x_M} + {y_M} + {z_M}\).

Lời giải

Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\). Khi đó ta có:

\({\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = 36 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2a - 12b - 6c + 10 = 0\) \(\left( 1 \right)\)

\({\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b - 8} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = 49 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 8a - 16b - 2c + 32 = 0\) \(\left( 2 \right)\)

\({\left( {a - 9} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 144 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 18a - 12b - 14c + 22 = 0\) \(\left( 3 \right)\)

\({\left( {a + 15} \right)^2} + {\left( {b - 18} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 576 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 30a - 36b - 14c + 22 = 0\) \(\left( 4 \right)\)

Giải hệ gồm 4 phương trình trên ta được \(a = 1;b = 2;c = - 1\) nên \(M\left( {1;2; - 1} \right)\).

Vậy \(T = 1 + 2 + \left( { - 1} \right) = 2\).

Đáp án: 2.

Câu 2

Tại một nút giao thông có \[2\] con đường khác mức. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz hai con đường đó thuộc hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\); \({d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{{ - 3}}\).

Người ta muốn tạo một con đường \(\Delta \) cắt \({d_1},\,{d_2}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho \(AB\) nhỏ nhất. Tính độ dài \(AB\), kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Lời giải

Ta có \(AB\) ngắn nhất khi \(AB\) là đoạn vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\).

Gọi \(A\left( {2 + a;2 + a; - a} \right) \in {d_1};\,\,B\left( {2 + b; - 1 + 2b; - 3b} \right) \in {d_2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \left( {b - a;2b - a - 3; - 3b + a} \right)\).

\({d_1},\,{d_2}\) lần lượt có các véc tơ chỉ phương là \({\vec u_{{d_1}}} = \left( {1;1; - 1} \right)\) và \({\vec u_{{d_2}}} = \left( {1;2; - 3} \right)\)

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .{{\vec u}_{{d_1}}} = 0\\\overrightarrow {AB} .{{\vec u}_{{d_2}}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1\left( {b - a} \right) + 1\left( {2b - a - 3} \right) - 1\left( { - 3b + a} \right) = 0\\1\left( {b - a} \right) + 2\left( {2b - a - 3} \right) - 3\left( { - 3b + a} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6b - 3a - 3 = 0\\14b - 6a - 6 = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;1;1} \right)\\B\left( {2; - 1;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 1} \right)\]

Do đó \[\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt 6 \approx 2,45\].

Đáp án: 2,45.

Câu 3