Cho các phân thức: \(\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2x}};\;\,\frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} + 3x + 2}};\;\,\frac{1}{x};\;\,\frac{{x + 1}}{{x + 3}}.\) Có bao nhiêu phân thức bằng phân thức \(\frac{x}{{x + 2}}\) trong các phân thức ở trên?

Bác An mở một xưởng may với vốn đầu tư ban đầu (xây dựng nhà xưởng, mua máy móc, …) là 100 triệu đồng. Biết chi phí để sản xuất (tiền mua vật liệu, lương nhân công) của 1 sản phẩm là 20 nghìn đồng. Gọi \(x\) là số sản phẩm mà xưởng của bác An làm được.

          a) Chi phí để sản xuất \(x\) sản phẩm là \(20x\) nghìn đồng.

          b) Số tiền thực cần để sản xuất \(x\) sản phẩm là \(100 + 20x\) nghìn đồng.

c) Phân thức biểu thị chi phí thực cần để làm được 1 sản phẩm là \(\frac{{100 + 20x}}{x}\) nghìn đồng.

d) Chi phí thực để tạo ra một sản phẩm khi xưởng bác An sản xuất \(1\;\,000\) sản phẩm là 120 nghìn đồng.

Giá trị trung bình của một chiếc áo len được một nhà may sản xuất cho bởi biểu thức \(P\left( x \right) = \frac{{0,02{x^2} + 100x + 1\;000}}{x},\) trong đó \(x\) là số áo len được sản xuất và \(P\) tính bằng nghìn đồng. Khi nhà may sản xuất được 100 chiếc áo len thì giá trung bình của một chiếc áo len là bao nhiêu nghìn đồng?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\frac{{11}}{{x - 1}}\) có giá trị là số nguyên?