Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2024}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2025}}{{ - 2}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 1 = 0\). Xét các vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right),\overrightarrow n = \left( {2;2;; - 1} \right)\).

a) \(\overrightarrow u \) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng D.

b) \(\overrightarrow n \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

c) \(\cos \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{8}{9}\).

d) Góc giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng khoảng 63° (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

Giả sử đường thẳng d cắt đường thẳng D1 tại B, ta có \(B\left( {1 + 2t;2 + t; - 2 - t} \right) \in {\Delta _1}\).

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2t + 2;t + 2; - t - 1} \right)\) mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( { - 1;2;2} \right)\).

Gọi φ là góc giữa d và (P), ta có \(\sin \varphi  = \frac{{\left| { - 2t - 2 + 2t + 4 - 2t - 2} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }} = \frac{{\left| {2t} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }} \ge 0\).

Suy ra d tạo với mặt phẳng (P) một góc φ nhỏ nhất khi φ = 0° hay sinφ = 0 Þ t = 0.

Khi đó đường thẳng d đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2; - 1} \right)\).

Vậy \(a = 2;b = 2;c =  - 1 \Rightarrow a + 2b - 3c = 2 + 2.2 - 3.\left( { - 1} \right) = 9\).

Trả lời: 9.

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1; - 2;2} \right)\)

a) Khi m = 0, đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;1;0} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \left( { - 2} \right).1 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Suy ra (d1, d2) = 45°.

b) Trục Ox có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\).

\(\cos \left( {{d_1},Ox} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \left( { - 2} \right).0 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{3}\).

c) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2;2;1} \right)\),

Đường thẳng D đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow n  = \left( {2;2;1} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {{d_1},\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).2 + \left( { - 2} \right).2 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}\).

d) Số đo góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 bằng 90° khi hai đường thẳng vuông góc.

Khi đó \(\overrightarrow {{u_1}}  \bot \overrightarrow v  \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow v  = 0 \Leftrightarrow  - 3 - 2m = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{3}{2}\).

Suy ra \(a =  - 3;b = 2\). Vậy \({a^2} + {b^2} = 13\).

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.