PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \frac{{2025}}{{\sin x}}.\)

Trả lời: 1,3

Do mặt phẳng \(\left( P \right)//\left( {SCD} \right)\) mà \(\left( {ABCD} \right) \cap \left( {SCD} \right) = CD\)\( \Rightarrow \left( {ABCD} \right) \cap \left( P \right) = MN\) đi qua \(O\) và song song với \(CD\) (với \(M \in AD,N \in BC\)).

Tương tự ta có: \(\left( {SAD} \right) \cap \left( P \right) = MF//SD\) (với \(F \in SA\)); \(\left( {SBC} \right) \cap \left( P \right) = NE//SC\) (với \(E \in SB\)).

Vậy hình tạo bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) và các mặt của hình chóp \(S.ABCD\) là tứ giác \(MNEF\).

Ta có \(MN\) đi qua \(O\) và song song với \(CD\) nên \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD,BC\).

Suy ra \(E,F\) lần lượt là trung điểm \(SB,SA\).

Gọi \(I,K\) lần lượt là trung điểm \(SC,SD\). Khi đó ta có:

\(IK//EF;IK = EF;IC//EN;IC = EN;\)\(KD//FM,KD = FN;MN//CD;MN = CD\).

Do đó \({S_{MNEF}} = {S_{DCIK}} = \frac{3}{4}{S_{SCD}} = \frac{3}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{4}{.2^2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4} \approx 1,3\).

Trả lời: 6,63

Trong mặt phẳng \(\left( {DMC} \right)\), gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(DP\).

Khi đó \(I \in MN \subset \left( {ABN} \right) \Rightarrow I \in \left( {ABN} \right)\).

Vậy \(I\) là giao điểm của \(DP\) và \(\left( {ABN} \right)\).

Tam giác \(DMC\) có \(MN\) và \(DP\) là hai đường trung tuyến nên giao điểm \(I\) là trọng tâm \(\Delta DMC.\)

Tam giác \(ABD\) đều cạnh bằng 12 và có \(DM\) là đường cao nên \(DM = 12.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3 \).

Tương tự ta có \(CM = 6\sqrt 3 \).

Do đó tam giác \(DMC\) cân tại \(M\). Suy ra \(MN\) cũng là đường cao của tam giác \(DMC\) hay \(MN \bot CD\).

Ta có \(DM = 6\sqrt 3 ,DN = \frac{1}{2}DC = 6\) nên \(MN = \sqrt {D{M^2} - D{N^2}} = 6\sqrt 2 \).

Khi đó \(IN = \frac{1}{3}MN = 2\sqrt 2 .\)

Tam giác \(DNI\) vuông tại \(N\) nên \(DI = \sqrt {D{N^2} + I{N^2}} = 2\sqrt {11} \).

Vậy \(I\) cách điểm \(D\) một khoảng bằng \(2\sqrt {11} \approx 6,63\).