Anh Minh muốn làm kệ để rubic có dạng như hình, nên đã thiết kế bằng việc tạo ra một hình chóp tam giác sau đó cắt phần đỉnh như hình vẽ.

Cụ thể anh Minh làm 1 hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) có \(AB = AC = 5\) cm, \(\widehat {BAC} = 30^\circ \). Sau đó dựng mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với \(\left( {ABC} \right)\) cắt đoạn \(SM\) tại \(M\) sao cho \(SM = 2MA\) rồi cắt để tạo sản phẩm. Hỏi diện tích thiết diện sau khi cắt thành sản phẩm hoàn chỉnh là bao nhiêu?

Trong \(\left( {SAB} \right)\) qua \(M\) kẻ \(MN//AB\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(MP//AC\).

Khi đó \(\left( {MNP} \right)//\left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {MNP} \right) \equiv \left( P \right)\).

Thiết diện của \(\left( P \right)\) và hình chóp là tam giác \(MNP\) đồng dạng với tam giác \(ABC\) theo tỉ số \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow \frac{{{S_{MNP}}}}{{{S_{ABC}}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{4}{9}\) \( \Rightarrow {S_{MNP}} = \frac{4}{9}{S_{ABC}}\).

Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.5.5.\sin 30^\circ = \frac{{25}}{4}\).

Vậy \({S_{MNP}} = \frac{4}{9}.\frac{{25}}{4} = \frac{{25}}{9} \approx 2,78\).