Với \(a > 0\,;\,\,b > 0\), cho biểu thức \(M = \sqrt {\frac{a}{b}}  + \frac{a}{b} \cdot \sqrt {\frac{b}{a}} .\)

a) Kết quả rút gọn biểu thức là \(\sqrt {\frac{{2a}}{b}} \).

b) Giá trị của biểu thức \(M\) với \[a = 1\,;\,\,\,b = 2\] là \[\sqrt 2 \].

c) Biết \[b \cdot M = 1\], khi đó tích \[ab = \frac{1}{2}\].

d) Nếu \[a = b\] thì giá trị biểu thức \[M = 2\].

Sóng thần (Tsunami) là một loạt các đợt sóng tạo nên khi một thể tích lớn của nước đại dương bị dịch chuyển chớp nhoáng trên một quy mô lớn. Động đất cùng những dịch chuyển địa chất lớn bên trên hoặc bên dưới mặt nước, núi lửa phun và va chạm thiên thạch đều có khả năng gây ra sóng thần. Cơn sóng thần khởi phát từ dưới đáy biển sâu, khi còn ngoài xa khơi, sóng có biên độ (chiều cao sóng) khá nhỏ nhưng chiều dài của cơn sóng lên đến hàng trăm kilomet. Con sóng đi qua đại dương với tốc độ trung bình 500 dặm một giờ. Khi tiến tới đất liền, đáy biển trở nên nông, con sóng không còn dịch chuyển nhanh được nữa, vì thế nó bắt đầu "dựng đứng lên" có thể đạt chiều cao một tòa nhà sáu tầng hay hơn nữa và tàn phá khủng khiếp.

Tốc độ của con sóng thần và chiều sâu của đại dương liên hệ bởi công thức: \(s = \sqrt {dg} .\)

Trong đó, \(d\) là chiều sâu đại dương tính bằng \({\rm{m;}}\)

\(s\) là vận tốc của sóng thần tính bằng \({\rm{m}}/{\rm{s}}\);

\(g = 9,81\,\;\,{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}\) là gia tốc trọng trường.

Susan Kieffer, một chuyên gia về cơ học chất lỏng địa chất của Đại học Illinois tại Mỹ, đã nghiên cứu năng lượng của trận sóng thần Tohoku 2011 tại Nhật Bản. Những tính toán của Kieffer cho thấy tốc độ sóng thần xấp xỉ \(220\;\,{\rm{m}}\,{\rm{/}}\,{\rm{s}}\). Hãy tính độ sâu của đại dương nơi xuất phát con sóng thần này.

Gọi \({x_1}\) là nghiệm của phương trình \(\sqrt {2x - 1}  = \sqrt 3 \).        \(\left( 1 \right)\)

\({x_2}\) là nghiệm của phương trình \(\sqrt[3]{{ - 3x + 1}} = \sqrt[3]{2}\).           \(\left( 2 \right)\)

a) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có một nghiệm \({x_1} = 5\).

b) Phương trình \(\left( 2 \right)\) có một nghiệm \({x_2} = \frac{{ - 1}}{3}\).

c) \({x_1} + {x_2} = \frac{5}{3}\).

d) \({x_1}{x_2} = \frac{2}{3}\).

Galilei là người phát hiện ra quãng đường chuyển động của vật rơi tự do tỉ lệ thuận với bình phương của thời gian. Quan hệ giữa quãng đường chuyển động y (mét) và thời gian chuyển động \(x\) (giây) được biểu diễn gần đúng bởi công thức \(y = 5{x^2}.\) Người ta thả một vật nặng từ độ cao \[55{\rm{ m}}\] trên tháp nghiêng Pisa xuống đất (sức cản của không khí không đáng kể). Khi vật nặng còn cách đất \[25{\rm{ m}}\] thì nó đã rơi được thời gian bao nhiêu giây?

Cho hai biểu thức:

\(M = \sqrt[3]{{{{\left( {17\sqrt 5  + 38} \right)}^3}}} - \sqrt[3]{{{{\left( {17\sqrt 5  - 38} \right)}^3}}}\) và \(N = \sqrt[3]{{{{\left( {17\sqrt 5  - 38} \right)}^3}}} - \sqrt[3]{{{{\left( {17\sqrt 5  + 38} \right)}^3}}}\).

Khẳng định đúng trong các khẳng định sau là