Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc nhọn bất kì thỏa mãn \(\alpha + \beta = 90^\circ \). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hướng dẫn giải

a) Xét \[\Delta OBC\] cân tại \[O\] (do \[OC = OB = R\]) nên đường trung tuyến \[OK\] cũng là đường cao của \[\Delta OBC.\] Suy ra \[OK \bot BC\] hay \[OD \bot BC\].

Xét nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB,\) có \[\widehat {ACB}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \[\widehat {ACB} = 90^\circ .\]

Vậy \[\Delta ABC\] vuông tại \[C\].

b) Xét \[\Delta OBC\] cân tại \[O\] (do \[OC = OB = R\]) nên đường trung tuyến \[OK\] cũng là đường phân giác của \[\Delta OBC.\] Do đó \(\widehat {BOD} = \widehat {COD}.\)

Xét \[\Delta CDO\] và \[\Delta BDO\] có:

\[OD\] là cạnh chung; \(\widehat {BOD} = \widehat {COD}\); \[OB = OC\]

Do đó \[\Delta CDO = \Delta BDO\] (c.g.c).

Suy ra \[\widehat {DCO} = \widehat {DBO} = 90^\circ \] (hai góc tương ứng).

Như vậy, \[OC \bot DC\] tại \[C\] thuộc \(\left( O \right)\) hay \[DC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai.         b) Sai.              c) Đúng.        d) Đúng.

• Từ hình vẽ, ta xét tam giác vuông \(ABC\), có:

\(AC = AB.\tan \widehat {CBA} = 48.\tan 80^\circ \approx 272,22{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\)

Do đó, ý a) là sai.

• Do người đó có tầm mắt \[1,65{\rm{ m}}\] nên chiều cao của tòa nhà là:

\[272,22 - 1,65 = 270,57{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Vậy tòa nhà cao \[270,57{\rm{ m}}\].

Do đó, ý b) là sai.

• Khoảng cách từ xe thu gom phế thải ở \[E\] đến chân tòa nhà là độ dài đoạn \[EA\].

Xét tam giác vuông \[EAD\], ta có:

\[EA = \frac{{AD}}{{\tan \widehat {DEA}}} = \frac{{200}}{{\tan 65^\circ }} \approx 93,26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\]

Do đó, ý c) là đúng.

• Khoảng cách của hai xe thu gom phế thải là \[93,26 - 48 = 45,26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\]

Vậy hai xe thu gom phế thải cách nhau \[45,26{\rm{ m}}\].

Vậy ý d) là đúng.