Để đo chiều cao của một bức tường Điệp dùng một quyển sách và ngắm sao cho hai cạnh bia của quyển sách hướng về vị trí cao nhất và vị trí thấp nhất của bức tường (tham khảo hình vẽ). Biết rằng Điệp đứng cách tường \(1,5\;\,{\rm{m}}\) và vị trí mắt khi quan sát cách mặt đất là \(1,2\;\,{\rm{m}}\).

Hỏi chiều cao của bức tường là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải

Đặt \(AH = x\,\,(\;{\rm{m}}),\,\,x > 0\).

• Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \[H,\] ta có:

\(\tan C = \frac{{AH}}{{CH}}\) hay \(\tan 35^\circ  = \frac{x}{{CH}}\) nên \(CH = \frac{x}{{\tan 35^\circ }}\).

• Xét \(\Delta BCH\) vuông tại \[H,\] ta có:

\(\tan B = \frac{{AH}}{{BH}}\) hay \(\tan 45^\circ  = \frac{x}{{BH}}\) nên \(BH = \frac{x}{{\tan 45^\circ }}\).

Ta có: \[BH + CH = BC\]

\[\frac{x}{{\tan 35^\circ }} + \frac{x}{{\tan 45^\circ }} = 3,58\]

\[x\left( {\frac{1}{{\tan 35^\circ }} + \frac{1}{{\tan 45^\circ }}} \right) = 3,58\]

\(x = \frac{{3,58}}{{\frac{1}{{\tan 35^\circ }} + \frac{1}{{\tan 45^\circ }}}} \approx 1,44\;\,({\rm{m)}}{\rm{.}}\)

Độ cao của cầu trượt là \(1,44\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Đáp án: 1,44.

a) Sai. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong \(\Delta ABD\) vuông tại \(D,\) ta có \(BD = AD \cdot \cot B.\)

b) Đúng. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong \(\Delta ACD\) vuông tại \(D,\) ta có \(AD = CD \cdot \tan C.\)

c) Đúng. Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta ADC\) có: O10-2024-GV154

\(\widehat {HBD} = \widehat {CAD}\) (cùng phụ với \(\widehat {ACB}\));

\(\widehat {HDB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \).

Do đó .

Suy ra \(\frac{{DH}}{{DC}} = \frac{{BD}}{{AD}}\) nên \(BD \cdot CD = DH \cdot AD\).

d) Đúng. Theo giả thiết: \(\frac{{HD}}{{AH}} = \frac{1}{2}\)O10-2024-GV154 hay \(\frac{{HD}}{{AH + HD}} = \frac{{HD}}{{AD}} = \frac{1}{3}\) nên \(AD = 3HD.\)

Do đó \(\tan B \cdot \tan C = \frac{{3HD}}{{DH}} = 3\).